IvanovMaksyuta

і рухому систему координат (x1′, x2′ , x3′ ), яку жорстко пов'язуємо з

твердим тілом (рис. 2). Початок координат O′ рухомої системи координат зручно вибрати в центрі інерції твердого тіла, радіус-вектор якоговнерухомійсистемікоординатобчислюєтьсязаформулою

RG = M1 ∫∫∫rGρ(rG)drG ,

де M = ∫∫∫ρ(rG)drG – маса твердого тіла, ρ(r ) – об'ємна густина маси твердого тіла. Тоді координати довільної точки P твердого тіла в цих двох системах пов'язані між собою таким співвід-

ношенням: rG = rG′ + R . Звідси випливає, що довільне переміщення твердого тіла можна уявляти як результат двох рухів – поступального руху центра інерції щодо нерухомої системи координат (описується трьома параметрами) і повороту рухомої системи координат щодо нерухомої (описується трьома незалежними один від одного кутами). Це суть теореми Шаля.

Розглянемо докладніше обертальний рух твердого тіла, оскільки поступальний рух матеріальної точки вже детально вивчався раніше. Для цього необхідно об'єднати центри O та O′ і далі розглядати рух рухомої системи координат (x1′, x2′ , x3′ ) на-

вколо цієї спільної нерухомої точки O ≡ O′ (полюса) або, що еквівалентно, навколо нерухомої системи координат (x1, x2 , x3 ) (рис. 3). Радіус-вектор довільної точки P твердого тіла розкладаємо по ортах цих систем координат rG = xieGi = x′jeG′j = rG′ .

124

Покажемо тепер, як можна однозначно виразити координати xi точки P у системі ( x1, x2 , x3 ) через координати x′j цієї точ-

ки в системі координат (x1′, x2′ , x3′ ), і навпаки. Із аналітичної гео-

метрії відомо, що орієнтацію однієї декартової системи щодо іншої можна задавати за допомогою напрямних косинусів

αij = cos (eGi ,eG′j ) = (eGi eG′j ) , які наведені в табл. 1. Як видно з цієї

125

Матриця повороту αij ортогональна. Дійсно, зі скалярного

добутку векторів ei і ek одержуємо, по-перше,

eGi eGk = δik = αij eG′j αkl eGl′ = αijαkl eG′j eGl′ = αijαkl δjl = αijαkj ,

тобто αα~ = Е , а, по-друге, оскільки визначник транспонованої матриці α~ дорівнює визначнику матриці α , а визначник добутку матриць дорівнює добутку визначників матриць, то з цієї рівності випливає det α = ±1 . Як буде показано нижче, у цьому співвідношенні необхідно вибрати знак "+". Звідси випливає

Зазначимо, що ортогональні перетворення зберігають скалярний добуток, тобто це такі перетворення координат, які залишають декартову систему координат декартовою.

Як було вже зазначено, поворот твердого тіла описують три незалежні координати, які пов'язані з наявністю трьох обертальних ступенів вільності. Ці координати можуть бути пов'язані з компонентами матриці αij . Дійсно, ця матриця описується де-

в'ятьма числами αij ( i, j пробігають значення 1, 2, 3), але на ці дев'ять чисел накладені умови αij αkj = δik . Зрозуміло, що існують шість таких умов, оскільки матриця αijαkj за означенням

симетрична за індексами i, k . Отже, поворот твердого тіла описується трьома незалежними величинами, на виборі яких ми зупинимось у наступній лекції.

За допомогою дев'яти величин αij можна однозначно виразити координати xi довільної точки твердого тіла через координати x′j , якщо підставити в праву частину рівності xiei = x′je′j орти e′j = αijei , що виражаються через орти ei (табл. 1). Із рівності коефіцієнтів при однакових ортах маємо xi = αij x′j . Можна записати й обернене співвідношення xi′ = α ji x j ( x′j e′j = xi ei = xi αij e′j ).

126

но мале зміщення dr точки P складається зі зміщення dR точки P разом із центром інерції та переміщення dr ′ щодо центра інерції. Це переміщення dr ′ шукаємо таким чином. Вводимо вектор dϕ нескінченно малого повороту, абсолютна величина якого дорівнює куту dϕ , а напрямок збігається з віссю повороту

(причому так, щоб напрямок повороту відповідав правилу правого гвинта щодо напрямку dϕ ). Тоді лінійне переміщення кінця

радіус-вектора r′ пов'язане з кутом dϕ таким співвідношенням (рис. 4): drG′ = r′sin θdϕ. Напрямок цього вектора перпендикулярний до площини, яка проходить через r′ і dϕ . Тому очевидно, що dr ′ = dϕ×r ′. У результаті одержуємо drG = dR + dϕG × rG′, а розділивши його на час dt , за який відбулося це переміщення, дістаємо

ще називають швидкістю поступального руху, вектор ω назива-

ють кутовою швидкістю обертання твердого тіла. Її напрямок збігається знапрямком осі обертання.

dϕ

dϕ dr ′

r ′

θ

O ′

Рис. 4. Нескінченно малий поворот навколо осі z

127

Таким чином, швидкість v довільної точки тіла щодо нерухомої системи координат може бути виражена через поступальну швидкість твердого тіла і кутову швидкість його обертання.

§2. Динаміка твердого тіла

1.Тензор інерції. При обчисленні кінетичної енергії твердого тіла вважатимемо його системою дискретних матеріальних точок. Тоді маємо

Далі не будемо писати індекс "а". Підставляючи в цю формулу швидкість vG =V + ωG × rG′ , одержуємо

T = ∑ m2 (VG + ω×G rG′)2 = ∑ m2 VG2 + ∑mVG (ω×G rG′) + ∑ m2 (ω×G rG′)2 .

Швидкості V і ω однакові для всіх точок твердого тіла. Тому в першому доданку вираз VG 2 2 виноситься за знак суми. Беручи до уваги, що ∑m = M – маса тіла, цей доданок записується у

вигляді MV 2 2 . Другий доданок перетворюємо таким чином:

∑mVG (ω×G rG′) = ∑mrG′ (VG×ωG) = (VG×ωG) ∑mrG′.

Сума ∑mrG′ визначає вектор центра мас у ц-системі координат і

тому дорівнює нулю. Нарешті, розкриваючи квадрат векторного добутку в третьому доданку кінетичної енергії, одержуємо

T = MV2 2 + 12 ∑m[ω2r′2 −(ωG rG′)2 ].

Таким чином, кінетична енергія твердого тіла представлена у вигляді двох частин. Перший доданок є кінетичною енергією поступального руху твердого тіла – він має такий вигляд, начебто вся маса твердого тіла зосереджена в його центрі інерції.

128

Другий доданок є кінетичною енергією обертального руху з кутовою швидкістю ω навколо осі, яка проходить через центр інерції. Тут необхідно ще раз акцентувати, що такі прості співвідношення справедливі тільки в тому випадку, коли початок рухомої системи координат обраний у центрі мас тіла.

Перепишемо кінетичну енергію обертального руху в тензорних позначеннях, тобто через компоненти xi′,ω′i векторів r ′,ω′ :

Tоб = 12 ∑m{ω′i2 xl′2 −ω′i xi′ω′k xk′} =

= 12 ∑m{ω′iω′k δik xl′2 −ω′iω′k xi′xk′} = 12 ω′iω′k ∑m(xl′2δik − xi′xk′ ).

Вводячи тензор другого рангу Iik = ∑m(xl2δik − xi xk ), записує-

мо кінцевий вираз для кінетичної енергії твердого тіла у вигляді (для зручності далі не будемо писати штрихи, але матимемо на увазі, що компоненти xi ,ωi – це складові відповідних векторів

щодо рухомої системи координат)

T = M2V 2 + 12 Iikωiωk .

Тензор Iik називається тензором моментів інерції або просто тензором інерції тіла. Як видно з означення, він симетричний, тобто Iik = Iki . Запишемо для наочності його компоненти в явному вигляді у вигляді такої матриці:

Тензор інерції характеризується властивістю адитивності: моменти інерції тіла дорівнюють сумам моментів інерції його частин. Для суцільного тіла вираз для тензора інерції записується у вигляді такого інтеграла:

129

Iik = ∫ρ(xl2δik − xi xk )dV .

Знайдемо тепер закон перетворення тензора при повороті системи координат із такої рівності:

T = 12 Iik ωiωk = 12 Iik αij ω′jαkl ω′l = 12 I ′jl ω′jω′l ,

а саме, I′jl = Iik αijαkl . Із цього перетворення випливає, що існу-

ють системи координат, щодо яких всі недіагональні компоненти тензора інерції дорівнюють нулю. Такі спеціальні системи координат називаються головними системами координат, а їх координатні осі – головними осями інерції, а компоненти тензора інерції – головними моментами інерції (позначимо їх I1, I2 , I3 ).

Тоді кінетична енергія обертального руху тіла щодо головної системи координат виражається таким чином:

Зауважимо, що знаходження головної системи координат – це задача на власні значення і власні вектори симетричної матриці. Власні значення – це головні моменти інерції, а нормовані власні вектори – це орти головних осей інерції. Матриця ж, яка будується з цих ортонормованих власних векторів, є матрицею того лінійного ортогонального перетворення, яке трансформує недіагональний тензор інерції в діагональний.

Залежно від співвідношення між I1 , I2 , I3 розрізняють такі типи твердих тіл (традиційно в класифікації твердих тіл використовується слово "дзиґа"): а) I1 ≠ I2 ≠ I3 – асиметрична дзиґа,

б) I1 = I2 ≠ I3 – симетрична дзиґа, в) I1 = I2 = I3 – кульова дзиґа. Пошук власних векторів і головних моментів інерції зводиться до математичної задачі про діагоналізацію симетричної матриці 3 ×3 . Розв'язання цієї задачі не складне, але може виявитись досить громіздким у загальному вигляді.

130