2. 1. Границя послідовності

2. 1. 1. Деякі позначення і термінологія

При введенні різних понять математичного аналізу і доведенні теорем, в нас часто тут будуть зустрічатися наступні словосполучення: «для будь-якого», «для всякого», «існує», «існує єдине». Для того, щоб скоротити записи формулювань означень та доведення теорем ми будемо ці звороти позначати відповідно наступними символами - - «для будь-якого»,- «існує»,- «існує єдиний», які називаються кванторами.

В процесі вивчення математичного аналізу ми весь час матимемо справу з певними, в основному, числовими множинами, які позначатимемо великими літерами латинського алфавіту, а об’єкти, з яких складаються ці множини, називатимемо їх елементами і позначатимемо малими літерами латинського алфавіту: Те, щоє елементом множини_, позначатимемо В протилежному випадку -(рідше). Якщо ж всі елементи множиниє одночасно і елементами множинито множинуназиватимемопідмножиною множини а множину-надмножиною множини і позначатимемоЯкщоіто множиниіназивають рівними(тобто множини називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів).

Над множинами здійснюються наступні операції: об’єднання, переріз, різниця та симетрична різниця.

1. Об’єднанням двох множин і() називається множина, кожний елемент якої є або елементом множиниабо елементом множини

2. Перерізом множин і() називається множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які одночасно є елементами і множиниі множини

3. Різницею множин і() назвемо множину, яка складається з тих елементів множиниякі не є елементами множиниНаприклад. Тоді

4. Симетричною різницею двох множин і() називається множинаОчевидно, щоТепер домовимось про позначення основних числових множин, якими ми будемо далі користуватися.

Множина натуральних чисел -

множина цілих чисел - (будь-яке ціле число - це різниця двох натуральних);

множина раціональних чисел – Q (раціональне число - це частка цілого числа на натуральне).

Що стосується наступної числової множини дійсних чисел, то дещо пізніше буде побудована більш-менш строга теорія цієї числової множини.

2. 1. 2. Числові послідовності та їх класифікація

Послідовністю називається функція, областю визначення якої є множина всіх натуральних чисел. Якщо цю функцію позначити через то згідно цього означення має існуватиякі назвемо відповідно першим, другим, …,-нним або загальним членом нашої послідовності.

Частіше ми таку послідовність позначатимемо інакше, а саме - перший член (),- другий член (),--нний (), і значить послідовність записуватимемо так -. Будемо вважати, що членами послідовності будуть елементи деякої множини (в майбутньому дійсних чисел), що містить множину Q.

Наприклад. Послідовність - ; послідовність -.

Очевидно, що будь-яку послідовність можна вважати заданою, якщо відомо її загальний член. Інколи, маючи перші члени можна знайти загальний член, проте є послідовності, загальні члени яких або важко або навіть неможливо задати. Оскільки маючи загальний член послідовності можна одержати будь-який її член, то послідовність можна записувати ще й так

Наприклад.

Розглянемо деякі класи послідовностей.

Означення 1. Послідовність називаєтьсямонотонно зростаючою (спадною), якщо будь-який член цієї послідовності, починаючи з другого більший (менший) за попередній, або коротко

Наприклад. - монотонно зростаюча послідовність (позначатимемо це), а послідовність- монотонно спадна (позначатимемо це).

Означення 2. Послідовність називаєтьсямонотонно неспадною (незростаючою), якщо:().

Наприклад. - монотонно неспадна послідовність, а- монотонно незростаюча.

Означення 3. Якщо послідовність задовольняє якомусь із означень 1 або 2, то ми її називатимемо монотонною, в протилежному випадку немонотонною.

Послідовності ще й можна класифікувати по іншому принципу.

Означення 4. Число називаєтьсянижньою (верхньою) межею послідовності , якщо

Для послідовності нижньою межею будеі будь-яке менше за нього число, а верхньою межею буде 1 і будь-яке більше за нього число. Цікаво було б з’ясувати чи існує число, яке менше за 1 і яке було б верхньою межею цієї послідовності. Послідовність 1,1,2,2… має нижню межуа верхньої межівона не має. Хоча й можна придумати й інші послідовності, які:

а) не мають нижньої межі, але мають верхню межу;

б)не мають ні нижньої ні верхньої меж.

Означення 5. Якщо послідовність має нижню (верхню) межу, то вона називаєтьсяобмеженою знизу (зверху).

Означення 6. Послідовність назвемообмеженою, якщо вона обмежена і знизу і зверху або якщо ж хоча б одного з чиселчине існує, то послідовністьназивається необмеженою.

Зауважимо, що обмеженість послідовності можна означити і дещо іншим способом. Для того нам буде потрібно поняття модуля числа. Нагадаємо, що модулем числа називається числояке визначається так

Приведемо тут без доведення наступні елементарні властивості модуля, доведення яких одержуються безпосередньо з означення

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. якщо то множина розв’язків нерівностіможе бути задана так, або. Останній проміжок називається відрізком;

8. якщо торівносильно

9. аналогічно, якщо торівносильноабо;

10. якщо то

Повернемось знову до послідовностей і приведемо ще одне означення обмеженої послідовності.

Означення 7. Послідовність називаєтьсяобмеженою, якщо

Оскільки ми поняття обмеженості послідовності означили двома способами, то потрібно показати еквівалентність обох цих означень. Пропонуємо читачу зробити це самостійно. Закінчимо цей параграф розглядом ще одного важливого в майбутньому поняття. Почнемо з

Означення 8. Під -околом точки (позначається це -) будемо розуміти проміжок з центром в точці, довжиноюі кінці якого до нього не включаються або що те саме

Наприклад.

Те, що означає, щоє розв’язком наступної нерівності,В математичному аналізі, як правило, радіус околу позначають грецькою літерою(епсілон) і тоді