3. 2. Дослідження функції та побудова її графіку

3. 2. 1. Дослідження функції на екстремум

Нехай маємо функцію , яка задана в деякому околі точки .

Означення 1. Точка називається точкою мінімуму функції, якщо існує окіл цієї точки такий, що із всіх значень, які приймає функція в цьому околі значення в точці найменше.

Тобто, інакше кажучи, якщо

Аналогічно вводиться і точка максимуму функції.

Нехай задана в .

Означення 2. Назвемо точкою максимуму функції, якщо існує окіл цієї точки такий, що із всіх значень, які приймає функція в ньому, значення в точці найбільше.

Тобто

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму.

Як випливає із зауваження, зробленого після теореми Ферма, точки, в яких функція може набирати максимум чи мінімум слід шукати серед тих, в яких або не існує. Там також відмічено, що не в кожній такій точці, які ми будемо називати критичними, функція має екстремум (найбільше чи найменше значення).

Для з’ясування, в якій критичній точці буде екстремум і який, а в якій не буде, використовують наступне твердження

Теорема 1 (І достатні умови існування екстремуму).

Нехай функція диференційована в деякому проколотому околі критичної точки . Якщо при проходженні точки через точку зліва направо похідна змінює знак, то в цій точці функція має екстремум, а саме: мінімум, якщо похідна змінює знак з «-» на «+», і максимум – з «+» на «-». Якщо ж при проходженні через похідна не змінює знак, то екстремуму немає.

(Зауважимо, що критичні точки беруться з тих, де функція неперервна, тобто точку 0, для функції ми відносити до критичних не будемо).

Доведення.

Нехай для конкретності при проходженні через змінює знак з «-» на «+». Це означає, що знайдеться окіл точки такий, що

Візьмемо будь яке . Застосуємо до відрізка з кінцями теорему Лагранжа. Очевидно (врахувавши, що в критичній точці функція є неперервною за домовленістю) всі умови цієї теореми будуть виконуватися. Тоді , яка лежить між і і .

Можливі два варіанти: або , або .

В першому випадку матимемо:

Тоді отримаємо, що . Із останньої рівності, оскільки , одержуємо, що Отже .

В другому випадку:

Матимемо, що , а оскільки , то Тоді .

Другий випадок розглядається аналогічно. Пропонуємо зробити це самостійно. Залишається розглянути 3 частину. Якщо похідна, при проходженні через точку не змінює знак. Нехай і зліва і справа . А це означає. – зростаюча і на зростаюча. Це означає, що значення в точці буде більшим за значення цієї функції в будь-якій точці в лівому півоколі і меншим за будь-яке значення в правому півоколі. А це означає, що не є точкою екстремуму.

Теорема доведена.

Із всього сказаного вище, одержується наступне правило дослідження функції на екстремум.

1. Шукаємо похідну функції.

2. Знаходимо критичні точки нашої функції. (Для цього розв’язуємо рівняння і до його коренів приєднуємо точки, в яких похідної нема).

3. Наносимо на числову вісь всі критичні точки і точки розриву нашої функції.

4. В кожному із одержаних проміжків визначаємо знак похідної.

5. Дивлячись на зміну знаків похідної на основі попередньої теореми робимо висновок про наявність екстремуму і який він буде.

Приклад.

Дослідити на екстремум функцію

є її точкою мінімуму, а – точкою максимуму.

Це запишемо: