2. 1. 5. Граничний перехід в нерівностях

Тут ми спробуємо з’ясувати чи не можна одержати якусь інформацію про співвідношення між границями двох збіжних послідовностей, маючи деяку інформацію про співвідношення між членами цих послідовностей, а також про обернену проблему.

Теорема 4. Нехай Якщо(1) , то(2).

Доведення. Доведемо теорему методом від супротивного.

Нехай Тоді дляза означенням границі будемо мати,ТобтоА з останніх нерівностей маємо, щощо протирічить нерівності (1). Отже припущення не вірне. Теорема доведена.

Теорема 5. Нехай іЯкщо

(3)

то (4)

Доведення. Розглянемо за відомою теоремою вона збіжна до числаЗ нерівностеймаємо, щоЗвідси за теоремою 4 – для послідовностімаємо, щоА звідси і одержуємо, щоТеорема доведена.

Зауваження. Якщо в теоремах 4 і 5 в нерівностях 1 і 3 навіть стоятиме знак „<” , то нерівності 2 і 4 треба залишити незмінними (тобто з цих умов не випливатиме, що ).

Наприклад. Ясно, що, проте

Наступні твердження вирішуватимуть обернені проблеми.

Теорема 6. Якщо ,то існує

Доведення. Візьмемо або що те саме

і оскільки то теорема доведена.

Теорема 7. Якщо ітоді

Доведення цієї теореми пропонуємо провести самостійно.

Зауваження. В теоремах 4 і 5 ми вимагали виконання нерівностей 1 і 3 Через те, що вилучення скінченої кількості членів не впливає на границю послідовності, то теореми 4 і 5 будуть правильними, якщо нерівності 1 і 3 в них будуть виконуватися не для всіха для всіх починаючи з деякого.

Закінчимо цей параграф наступним твердженням, яке дозволяє при певних умовах відповісти на питання про збіжність і границю деякої послідовності.

Теорема 8. („Про два міліціонери”). Нехай - послідовності такі, що

(1)

Якщо (2), то (3)

Доведення . З рівностей (2) за означенням границі послідовності будемо мати

(4)

(5)

Позначимо через Тоді длябудемо матиТаким чином, маємоабоа звідси (дивись виділене) за означенням границі маємо рівність (3). Теорема доведена.

2. 1. 6. Нескінченно великі послідовності

Раніше ми займалися нескінченно малими послідовностями, одна з яких Якщо утворити послідовність, членами якої будуть числа обернені до відповідних членів цієї послідовності, то отримаємо:Про останню можна сказати, що який би ми окіл точки 0 не взяли всі члени цієї послідовності починаючи з деякого номера не будуть належати цьому околу.

Послідовності, що мають таку властивість називаються нескінченно великими. Дамо їм точне

Означення 1. Послідовність називаєтьсянескінченно великою, якщо

З цього означення одержуємо, що кожна нескінченно велика послідовність є необмеженою (цікаво, чи вірне обернене твердження!). Аналізуючи нескінченно малі та нескінченно великі послідовності, можна прийти до думки, що справедлива наступна

Теорема 1. Для того, щоб послідовність була нескінченно великою необхідно і достатньо, щоббула нескінченно малою.

Доведення.

Необхідність. Нехай - нескінченно велика послідовність. Доведемо, що- нескінченно мала послідовність. Оскільки за умовою послідовністьнескінченно велика, то за означенням маємо:

або абоа це означає, що- нескінченно мала послідовність.

Достатність. Нехай нескінченно мала послідовність. Доведемо , що- нескінченно велика послідовність. Тоді,дляабоіа це означає, що- нескінченно велика послідовність і теорема доведена.

Пробуючи перенести на нескінченно великі послідовності теореми про арифметичні операції над нескінченно-малими послідовностями, помічаємо, що тут ситуація більш заплутана, ніж там. Зокрема, наприклад,

• сума чи різниця двох нескінченно великих послідовностей може дати (як це можна довести з допомогою прикладів) найрізноманітніші послідовності, тобто такі: нескінченно малі; нескінченно великі; збіжні до будь-якого числа; розбіжні взагалі. В цьому випадку кажуть, що сума чи різниця нескінченно великих послідовностей є невизначена послідовність.;

• таке саме матиме місце і для частки нескінченно великих послідовностей;

• що стосується добутку, то тут проблем не виникає і спробуйте самостійно розібратись, що тут буде, довівши відповідну теорему.