2. 4. Показникова та логарифмічна функції і їх властивості

2. 4. 1. Степінь з раціональним показником. Показникова функція та її властивості

З курсу математики середньої школи відомо, що

В попередньому параграфі ми з’ясували, що Означимо степінь з довільним раціональним показником наступним чином: Можна довести, що степінь з раціональним показником має наступні властивості: будемо мати

Тепер нам треба ввести степінь з ірраціональним показником. Візьмемо довільне ірраціональне число . Розглядатимемо всеможливі раціональні числа і такі, що (1)

Нехай Тоді під ми розумітимемо таке число що для все можливих раціональних і із (1) справедлива нерівність

(2)

Найближчою нашою метою є доведення того, що таке буде існувати і воно буде єдиним. Для того, щоб це довести, нам потрібно вивчити деякі властивості функції

1) Справді, з того, що а врахувавши, що матимемо, що Припустимо, що Звідси (на основі монотонного зростання функції ), або а це протирічить нерівності яка випливає з нерівності Отже, ми отримали суперечність і потрібна нам властивість доведена.

2) є монотонно зростаючою на множині раціональних чисел.

Візьмемо і розглянемо різницю (за властивістю 1). Отже, Далі, нам ще потрібна буде наступна відома рівність:

(3)

Покажемо далі, що справедлива така

Теорема 1. із означення степеня існує і єдине.

Доведення. Існування. Візьмемо яке задовольняє нерівність (1), і зафіксуємо його. Розглядатимемо все можливі які задовольняють нерівність (1), в якій замість взято фіксоване нами В результаті одержимо множину чисел Очевидно ця множина не порожня і обмежена зверху числом (за властивістю (2)), оскільки то А значить існує що задовольняють (1). Позначимо Тоді що задовольняють (1). Оскільки довільне, то ми показали, що існує яке задовольняє співвідношення (2) при із (1) і існування із означення степеня з ірраціональним показником доведено.

Єдиність. Доведемо спочатку, що (4) Для доведення цього співвідношення скористаємося рівністю (3), але спочатку знову, як і в попередньому , зафіксуємо З рівності (3) за означенням границі будемо мати:

(5)

Візьмемо із співвідношення (5). Тоді із (1), такі що

(6)

Далі для таких чисел і будемо мати, А це означає, що (4) доведено.

Тепер вже легко довести єдиність Припустимо, що які задовольняють умовам нашого означення. Покладемо Оскільки задовольняють нерівність (2) із (1), то завжди

(7)

Тоді з (4) для тільки-що вибраного будемо мати, що і для яких

+ (8)

Із (7), (8) зразу маємо (бо ) і що неможливо, тому припущення невірне. Єдиність доведена.

Таким чином ми зараз ввели поняття для і і показали, що при кожному поточному існує і єдине. Цим самим ми означили функцію на всій числовій осі (для раціональних це було зроблено раніше), яку називатимемо показниковою .

Таким чином ми про цю показникову функцію знаємо:

1. при визначена на всій осі.

Вивчимо інші властивості цієї функції. Почнемо з монотонності.

2) - монотонно зростаюча на всій числовій осі.

Доведення. Візьмемо Очевидно існують раціональні числа Звідси і з означення степеня (дивись нерівності (1) і (2)) будемо мати: а тому А це означає, що монотонно зростаюча на всій числовій осі.

3) Функція - неперервна на всій області визначення.

Доведення. Візьмемо і покажемо, що Тоді беремо В процесі доведення єдності із означення степеня з довільним показником ми взяли, (*). З означення границі послідовності матимемо, Тоді з властивості 2. Звідси і з означення степеня з довільним показником отримаємо, а це означає, що Отже показникова функція неперервна.

4) Поведінка на краях області визначення. Справедливі рівності,

(9)

(10)

Доведення. Нехай спочатку тоді можна вважати, що і і будемо мати - (за нерівністю Бернулі), а звідси при зразу отримаємо що при випливає (бо ) і рівність (10) доведена. Нехай тепер Тоді можна вважати Тому Далі з того, що випливає і за (10) матимемо, значить і остаточно а це і є рівність (9).

4. Множиною значень показникової функції є інтервал

Оскільки, як випливає з означення показникової функції, лежить між і де і - раціональні числа, то Тому при доведенні цієї властивості потрібно показати, що будь-яке досягається функцією на множині дійсних чисел. З рівності (9) за означенням границі функції на будемо мати, що для вказаного вище знайдеться З рівності (10) матимемо, З останніх двох нерівностей бачимо, що (враховуючи монотонність показникової функції). Тоді розглянемо функцію на Вона тут неперервна і монотонно-зростаюча, значить множиною її значень буде відрізок але число належить цьому відрізку, а отже досягається нашою функцією.

Використовуючи одержані вище властивості можемо накреслити

графік функції коли

Розглянемо тепер ситуацію, коли Введемо Позначимо тоді Ясно, що існує завжди на множині дійсних чисел ( існує і не дорівнює нулю ).

Аналізуючи означення при і відповідні властивості функції вивчені вище, одержимо наступні властивості функції при

1. R – область визначення;

2. - монотонно спадна на

3. - неперервна на

4. 

5. - множина значень функції.

Графік функції має вигляд