2. 2. Теорія дійсних чисел

2. 2. 1. Теорія дійсних чисел

З’ясуємо чи вистачає раціональних чисел для вирішення різних проблем, як в математиці так в її застосуваннях. Розглянемо рівняння і розберемось чи при всіх такихдане рівняння має розв’язок в множині. ЯкщототоА що буде колиДоведемо, що таке рівняння не має коренів на множині

Припустимо зворотне, нехай деі взаємно прості (тобто дрібє нескоротний) є розв’язком цього рівняння, тоді матимемоабоідеа значитьТому матимемоа цей дріб скоротний. Одержане протиріччя і показує, що не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2, або що те саме, яке є коренем рівнянняТаким чином ми довели, що навіть таке просте рівняннянеможливо розв’язати користуючись тільки множиною раціональних чисел. Ця проблема, а також багато інших вимагають розширення множини раціональних чисел до деякої нової, на якій би ці проблеми вже можна було б розв’язати.

Як відомо з курсу елементарної математики, число квадрат якого дорівнює 2 називаєтьсяМи тільки що встановили, що воно не є раціональним числом. Але в школі ми користувалися таким числом, зокрема його наближеннями. Зрозуміло, щоб мати повне уявлення про це число треба мати можливість одержати будь-яке десяткове наближення цього числа з недостачею (чи з надлишком). Якщо ми випишемо всі такі наближення з цього числа, то одержимо деяку послідовність, яка вичерпно це число характеризуватиме, 1;1,4;1,41;1,414;1,4142;1,41421;… Неважко помітити, що така послідовність є обмеженою і монотонно неспадною послідовністю раціональних чисел. Більше того, зобразивши всі члени цієї послідовності на числовій осі, а такожми помітимо, щобуде границею цієї послідовності. Інтуїтивно відчутно, що кожна монотонно неспадна і обмежена зверху послідовність раціональних чисел „зобов’язана мати границю” , проте не у всіх випадках ця границя буде раціональним числом. І тому дамо таке

Означення 1. Число, що є границею монотонно неспадної і обмеженої зверху послідовності раціональних чисел називається дійсним. Множину всіх таких чисел позначатимемо .

Очевидно множина є підмножиноюМи знаємо, що на множиніє дії додавання, віднімання, множення та крім цього ці числа можна порівнювати. Чи будуть ці операції здійснюватись на новій множиніНижче ми дамо відповідь на це запитання, а також з’ясуємо чи не трапиться і тут таке, що якась монотонна і обмежена послідовність дійсних чисел не має границі, що є дійсним числом.

Порівняння дійсних чисел

Для того, щоб порівняти два дійсні числа спочатку дамо таке

Означення 2. Нехай і - дві монотонно неспадні і обмежені зверху послідовності раціональних чисел. Будемо говорити, щомажорує якщоЦе будемо записувати так

Проілюструємо це означення на прикладі двох послідовностей: ідеаБудемо мати, щотаке, щотомуа значить

З’ясуємо чи не мажоруватиме послідовностіВізьмемотаке, щоЗначитьі такимажоруєЗначить цей приклад показує, що можуть існувати послідовності кожна з яких мажорує іншу.

З’ясуємо чи існує дві послідовності з яких ні одна не мажорує іншу. Нехай такі послідовності є: і . Якщо невірно, що , то і якщо неправда, щотоЯсно, що тут протиріччя, тому що з останньої нерівності випливає: всіа з передостанньої нерівності маємо, щоодне ізОтже такої ситуації бути не може. Значить для двох будь-яких монотонно-неспадних і обмежених зверху послідовностей раціональних чисел можливі три наступні ситуації:

1. кожна з них мажорує іншу;

2. перша не мажорує другу;

3. друга не мажорує першу.

Якщо в ситуаціях описаних вище перша послідовність визначає дійсне число , а друга - то справедливе таке:

Означення 3. В ситуації 1) будемо говорити, що

в ситуації 2) -

в ситуації 3) -

Таким чином, цим означенням ми впорядкували множину дійсних чисел. Звідси і вказаного вище випливає те, що для будь-яких дійсних чисел і завжди виконується одна і тільки одна з трьох ситуацій.