2. 3. 2. Границя функції на нескінченності (випадок, коли )

Простий аналіз означення границі функції за Коші показує, що для того, щоб дати означення границі функції на нескінченності треба розібратись, що слід розуміти під околом нескінченно віддаленої точки.

Під - околом нескінченно віддаленої точки будемо розуміти наступну множину або множину Тепер можна говорити про границю функції на нескінченності.

Нехай функція задана на множині для якої нескінченно-віддалена точка є граничною, тобто в будь-якому є безліч точок із множини Тоді перенісши формально означення Коші границі функції, сформульоване вище і замінивши в ньому відповідний окіл на ми одержимо наступне

Означення Коші (границі функції на нескінченності).

Число називається границею функції при і записується якщо

Сформулюємо означення Гейне границі функції на нескінченності.

Число називається границею функції при і записується якщо для будь-якої нескінченно-великої послідовності всі члени якої належать до множини послідовність - збіжна до числа

Як і в скінченному випадку тут також обидва означення границі функції на нескінченності еквівалентні і мають місце теореми про арифметичні операції над границями функції.

2. 3. 3. Односторонні границі функції в точці

Нехай задана на множині і точка така, що в будь-якому її правому півоколі є безліч елементів з множини Тоді число називається правосторонньою границею функції в точці і записується або

Означення Гейне (правосторонньої границі функції в точці ).

Число називається правосторонньою границею функції в точці і записується або якщо

1)

2)

3)

послідовність - збіжна до числа

Означення Коші (правосторонньої границі функції в точці ).

Число називається правосторонньою границею функції в точці і записується або якщо:

(або що те саме ).

Знову легко доводиться, що обидва ці означення еквівалентні.

Аналогічно вводяться обидва означення лівосторонньої границі функції в точці Нехай задана на множині і точка така, що в будь-якому її лівому півоколі є безліч елементів з множини

Означення Гейне (лівосторонньої границі функції в точці ).

Число називається лівосторонньою границею функції в точці і записується або якщо

1)

2)

3)

послідовність - збіжна до числа

Означення Коші (лівосторонньої границі функції в точці ).

Число називається лівосторонньою границею функції в точці і записується або якщо

(або що те саме ).

Використавши ці ідеї можна написати означення одностороннім границям в нескінченно віддаленій точці або інакше кажучи ввести поняття границі функції при і

Нехай визначена на множині причому на проміжку є безліч елементів множини Тоді якщо для будь-якої нескінченно великої послідовності елементів множини всі члени якої є додатні числа, послідовність - збіжна до числа (означення Гейне (границі функції на )).

(означення Коші (границі функції на )).

Аналогічно означаємо

Теорема 1 (Про зв’язок між границею та односторонніми границями функції в точці ). Нехай задана на множині причому в будь-якому лівому та правому півоколах точки є безліч елементів множини Тоді для того, щоб в точці існувала границя функції необхідно і достатньо, щоб в цій точці існували і були рівні між собою обидві односторонні границі функції в цій точці.

Доведення. Необхідність пропонуємо читачу довести самостійно.

Достатність. Нехай і Покажемо, що За означенням правосторонньої границі маємо, а за означенням лівосторонньої границі отримаємо, Нехай тоді якщо то або або Отже, Теорема доведена.