- •Паскевич Тетяна Іванівна магістерська робота електронний посібник для поглибленого вивчення математики учнями математичних ліцеїв та шкіл
- •1. 1. Поняття про електронний підручник
- •1. 2. Основні вимоги до електронного підручника
- •1. 3. Структуризація та оформлення електронного підручника
- •1. 3. 1. Особливості мови html
- •1. 3. 2. Редагування тексту
- •3Адання заголовків
- •1. 3. 3. Створення гіперпосилань і графіки на Web-cторінках
- •1. 3. 4. Робота з таблицями
- •1. 4. Програма Advanced Grapher.
- •1. 5. Етапи створення посібника
- •2. 1. Границя послідовності
- •2. 1. 1. Деякі позначення і термінологія
- •2. 1. 2. Числові послідовності та їх класифікація
- •2. 1. 3. Нескінченно малі послідовності та їх властивості
- •2. 1. 4. Границя послідовності
- •2. 1. 5. Граничний перехід в нерівностях
- •2. 1. 6. Нескінченно великі послідовності
- •2. 2. Теорія дійсних чисел
- •2. 2. 1. Теорія дійсних чисел
- •Порівняння дійсних чисел
- •Властивість транзитивності
- •Додавання дійсних чисел
- •Віднімання дійсних чисел.
- •Множення дійсних чисел
- •Частка двох дійсних чисел
- •Інші властивості дійсних чисел
- •2. 2. 2. Точні грані множини
- •2. 2. 3. Поняття підпослідовності. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Поняття часткової границі. Верхні і нижні границі, проблема їх існування
- •2. 2. 4. Критерій Коші збіжності послідовності
- •2. 3. Границя і неперервність функції
- •2. 3. 1. Гранична точка множини. Означення границі функції
- •2. 3. 2. Границя функції на нескінченності (випадок, коли )
- •2. 3. 3. Односторонні границі функції в точці
- •Перша цікава границя.
- •2. 3. 4. Означення неперервності функції в точці. Точки розриву функції та їх класифікація
- •2. 3. 5. Арифметичні операції над неперервними функціями
- •Одностороння неперервність функції в точці
- •2. 3. 6. Властивості неперервних функцій
- •Локальна властивість
- •2. Глобальні властивості
- •2. 3. 7. Обернена функція
- •2. 4. Показникова та логарифмічна функції і їх властивості
- •2. 4. 1. Степінь з раціональним показником. Показникова функція та її властивості
- •2. 4. 2. Логарифмічна функція
- •2. 4. 3. Загальностепенева функція і її властивості
- •2. 4. 4. Друга та інші цікаві границі
- •2. 4. 5. Гіперболічні функції та їх графіки
- •3. 1. Похідна та її обчислення
- •3. 1. 1. Поняття дотичної до кривої. Кутовий коефіцієнт дотичної
- •3. 1. 2. Диференційованість функції в точці. Зв’язок її з неперервністю і існуванням похідної
- •3. 1. 3. Правила диференціювання
- •3. 1. 4. Диференціал функції та його застосування
- •3. 1. 5. Похідні і диференціали вищих порядків
- •3. 1. 6. Параметрично задані функції і обчислення їх похідних
- •3. 1. 7. Теореми про середнє. І, іі правила Лопіталя. Критерій строгої монотонності функції
- •3. 2. Дослідження функції та побудова її графіку
- •3. 2. 1. Дослідження функції на екстремум
- •3. 2. 2. Дослідження функції диференційованої на відрізку на найбільше та найменше її значення на цьому ж відрізку
- •3. 2. 3. Опуклість і вгнутість графіка функції. Теорема про достатні умови опуклості, вгнутості функції на проміжку
- •3. 2. 4. Точки перегину графіка функції та їх відшукання
- •3. 2. 5. Асимптоти графіка функції
- •4. 1. Невизначений інтеграл
- •4. 1. 1. Первісна. Невизначений інтеграл
- •4. 1. 2. Заміна змінних у невизначеному інтегралі. Інтегрування за частинами
- •4. 2. Інтегрування різних класів функцій
- •4. 2. 1. Інтегрування раціональних функцій
- •4. 2. 2. Інтегрування деяких класів ірраціональних функцій
- •4. 2. 3. Інтегрування ірраціональних функцій з квадратним тричленом під квадратним коренем. Підстановки Ейлера
- •4. 2. 4. Підстановки Чебишева
- •4. 2. 5. Інтегрування тригонометричних функцій
- •4. 3. Інтеграл Рімана
- •4. 3. 1. Суми Дарбу. Їх властивості та означення інтеграла Рімана
- •4. 3. 2. Рівномірно-неперервні функції. Теорема Кантора
- •4. 3. 3. Друге означення інтеграла Рімана
- •4. 3. 4. Властивості інтеграла Рімана
- •4. 3. 5. Інтеграл із змінною верхньою межею. Його властивості
- •4. 3. 6. Формула Ньютона-Лейбніца (основна формула інтегрального числення). Інтегрування методом підстановки та за частинами
- •4. 4. Застосування інтеграла Рімана
- •4. 4. 1. Площа криволінійної трапеції
- •4. 4. 2. Площа криволінійного сектора.
- •4. 4. 3. Об’єм тіла обертання
- •4. 4. 4. Довжина дуги кривої
- •4. 4. 5. Площа поверхні обертання
- •4. 4. 6. Координати центра ваги матеріальної дуги та пластинки. Теореми Гульдена
2. 2. 3. Поняття підпослідовності. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Поняття часткової границі. Верхні і нижні границі, проблема їх існування
Знову розглянемо обмежені послідовності. Раніше ми довели, що із збіжності послідовності випливає її обмеженість, проте навпаки невірно. Наступна теорема дещо більше нам говорить про взаємозв’язок обмеженості і збіжності послідовності.
Нехай - деяка монотонно зростаюча послідовність натуральних чисел, а- послідовність дійсних чисел. Тоді послідовністьназивається підпослідовністю послідовності
Наприклад є підпослідовністю послідовностіОчевидно, що
Теорема 1(Больцано-Вейєрштрасса). З кожної обмеженої послідовності дійсних чисел можна виділити збіжну підпослідовність.
Доведення. Нехай - обмежена послідовність, тодіТочкоювідрізокподілимо на два рівних відрізки і позначимо черезтой із них, який містить безліч членів нашої послідовності (якщо цю властивість мають обидва відрізки, то беремо будь-який з них). Продовжуючи цей процес, ми одержуємо послідовність відрізків з такими властивостями:
довжина відрізка дорівнює
3) містить безліч членів послідовності
Із властивостей 1) і 2) за аксіомою Кантора маємо, що
З’ясуємо далі скільки членів послідовності лежатиме в довільному околі точки Візьмемоі розглянемоЯк і при доведенні попередньої теореми завжди знайдетьсяі тоді з властивості 3) маємо, що вє безліч членів послідовності
Візьмемо і розглянемоЗа тільки що доведеним тут є члени нашої послідовностіВізьмемо один із них і позначимо його черезТодіабо
Візьмемо і розглянемоТоді існує член послідовності(який позначимо через) такий, що(такийобов’язково знайдеться, бо вє безліч членів нашої послідовності), причомуПродовжуючи цей процес і так далі, ми на- кроці візьмемоі розглянемоВ ньому знайдемотаке, що(1) і т. д..
Таким чином ми одержимо підпослідовність послідовностітаку, щоЗ останньої нерівності за теоремою „Про два міліціонери” одержимо, щоОтже, ми з послідовностівиділили збіжну послідовність. Теорема доведена.
Прості приклади показують , що умова обмеженості суттєва. Що стосується необмеженої послідовності то тут справедлива така
Теорема 2. Із кожної необмеженої послідовності можна виділити нескінченно-велику послідовність.
Пропонуємо читачу довести це твердження самостійно.
Число яке ми одержали в теоремі Больцано-Вейєрштрасса як границю деякої підпослідовності (і яке не зобов’язане бути границею послідовності), називатимемо частковою границею послідовності
Наприклад. Послідовність має дві часткові границі 0 і 1.
В зв’язку з введеним тільки-що поняттям часткової границі пропонуємо читачу довести ще одне твердження.
Теорема 3. Для того щоб обмежена послідовність була збіжною необхідно і достатньо, щоб вона мала одну часткову границю.
Очевидно, що обмежена послідовність може мати декілька і навіть безліч часткових границь (придумайте такі послідовності). Тому поставимо питання про найбільшу і найменшу з часткових границь даної послідовності. Першу з них називають верхньою, а другу – нижньою границями послідовності і позначають відповідно:і
Наприклад. Туті
Оскільки послідовність може мати безліч часткових границь, то виникає проблема існування нижніх і верхніх границь послідовності, бо не завжди із безлічі чисел можна знайти найменше і найбільше . Наступна теорема вирішує цю проблему.
Теорема 4 (про існування верхньої і нижньої границь послідовності).
Якщо обмежена послідовність, то існує її верхня і нижня границя.
Доведення. Нехай множина всіх часткових границь послідовностіОчевидно, ця множина не порожня (з теореми Больцано-Вейєрштрасса). Крім цього, вона ще й обмеженою. Справді, для будь-якої підпослідовностісправедлива нерівністьа звідси випливає, щоє нижньою межею множиниа- верхньою (за теоремою про граничний перехід в нерівностях).Тоді за відомою теоремою існуютьі
Для того, щоб закінчити доведення нашої теореми, достатньо довести , що іналежать множиніЦим самим буде показано, щоє найменшою частковою границею послідовностіанайбільшою.
Покажемо, що Для цього скористаємося тим, щоі за властивостями інфінуму матимемо,
1)
2) або записавши разом ці властивості –
Таким чином, ми зараз довели, що в будь-якому є хоча б один елемент множиниабо що те саме часткова границящо в свою чергу означає, що існуєякий повністю лежатиме ва влежатимуть всі члени деякої підпослідовності, починаючи з певного номера. Оскільки всі вони є членамито ми довели наступне: в будь-якомує безліч членів послідовності. Тоді звідси, як і при доведенні теореми Больцано-Вейєрштрасса, одержуємо, що існує деяка підпослідовністьпослідовностіяка збіжна до. Отже,- часткова границя і томуОскількито- найменший із елементівтому - нижня границя послідовності. Інший випадок доводиться аналогічно, що пропонуємо зробити читачу самостійно, так само як спробувати теж самостійно довести наступне твердження, яке в якійсь мірі узагальнює раніше приведене твердження.
Теорема 5. Для того, щоб обмежена послідовність була збіжною необхідно і достатньо, щоб її верхня і нижня границі співпадали.
Далі, проаналізувавши поняття верхньої і нижньої границь послідовності легко виходимо на такі властивості цих понять:
Якщо а то
1)
2)
3) всі члени послідовності, починаючи з деякого номера будуть належати відрізку