- •Паскевич Тетяна Іванівна магістерська робота електронний посібник для поглибленого вивчення математики учнями математичних ліцеїв та шкіл
- •1. 1. Поняття про електронний підручник
- •1. 2. Основні вимоги до електронного підручника
- •1. 3. Структуризація та оформлення електронного підручника
- •1. 3. 1. Особливості мови html
- •1. 3. 2. Редагування тексту
- •3Адання заголовків
- •1. 3. 3. Створення гіперпосилань і графіки на Web-cторінках
- •1. 3. 4. Робота з таблицями
- •1. 4. Програма Advanced Grapher.
- •1. 5. Етапи створення посібника
- •2. 1. Границя послідовності
- •2. 1. 1. Деякі позначення і термінологія
- •2. 1. 2. Числові послідовності та їх класифікація
- •2. 1. 3. Нескінченно малі послідовності та їх властивості
- •2. 1. 4. Границя послідовності
- •2. 1. 5. Граничний перехід в нерівностях
- •2. 1. 6. Нескінченно великі послідовності
- •2. 2. Теорія дійсних чисел
- •2. 2. 1. Теорія дійсних чисел
- •Порівняння дійсних чисел
- •Властивість транзитивності
- •Додавання дійсних чисел
- •Віднімання дійсних чисел.
- •Множення дійсних чисел
- •Частка двох дійсних чисел
- •Інші властивості дійсних чисел
- •2. 2. 2. Точні грані множини
- •2. 2. 3. Поняття підпослідовності. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Поняття часткової границі. Верхні і нижні границі, проблема їх існування
- •2. 2. 4. Критерій Коші збіжності послідовності
- •2. 3. Границя і неперервність функції
- •2. 3. 1. Гранична точка множини. Означення границі функції
- •2. 3. 2. Границя функції на нескінченності (випадок, коли )
- •2. 3. 3. Односторонні границі функції в точці
- •Перша цікава границя.
- •2. 3. 4. Означення неперервності функції в точці. Точки розриву функції та їх класифікація
- •2. 3. 5. Арифметичні операції над неперервними функціями
- •Одностороння неперервність функції в точці
- •2. 3. 6. Властивості неперервних функцій
- •Локальна властивість
- •2. Глобальні властивості
- •2. 3. 7. Обернена функція
- •2. 4. Показникова та логарифмічна функції і їх властивості
- •2. 4. 1. Степінь з раціональним показником. Показникова функція та її властивості
- •2. 4. 2. Логарифмічна функція
- •2. 4. 3. Загальностепенева функція і її властивості
- •2. 4. 4. Друга та інші цікаві границі
- •2. 4. 5. Гіперболічні функції та їх графіки
- •3. 1. Похідна та її обчислення
- •3. 1. 1. Поняття дотичної до кривої. Кутовий коефіцієнт дотичної
- •3. 1. 2. Диференційованість функції в точці. Зв’язок її з неперервністю і існуванням похідної
- •3. 1. 3. Правила диференціювання
- •3. 1. 4. Диференціал функції та його застосування
- •3. 1. 5. Похідні і диференціали вищих порядків
- •3. 1. 6. Параметрично задані функції і обчислення їх похідних
- •3. 1. 7. Теореми про середнє. І, іі правила Лопіталя. Критерій строгої монотонності функції
- •3. 2. Дослідження функції та побудова її графіку
- •3. 2. 1. Дослідження функції на екстремум
- •3. 2. 2. Дослідження функції диференційованої на відрізку на найбільше та найменше її значення на цьому ж відрізку
- •3. 2. 3. Опуклість і вгнутість графіка функції. Теорема про достатні умови опуклості, вгнутості функції на проміжку
- •3. 2. 4. Точки перегину графіка функції та їх відшукання
- •3. 2. 5. Асимптоти графіка функції
- •4. 1. Невизначений інтеграл
- •4. 1. 1. Первісна. Невизначений інтеграл
- •4. 1. 2. Заміна змінних у невизначеному інтегралі. Інтегрування за частинами
- •4. 2. Інтегрування різних класів функцій
- •4. 2. 1. Інтегрування раціональних функцій
- •4. 2. 2. Інтегрування деяких класів ірраціональних функцій
- •4. 2. 3. Інтегрування ірраціональних функцій з квадратним тричленом під квадратним коренем. Підстановки Ейлера
- •4. 2. 4. Підстановки Чебишева
- •4. 2. 5. Інтегрування тригонометричних функцій
- •4. 3. Інтеграл Рімана
- •4. 3. 1. Суми Дарбу. Їх властивості та означення інтеграла Рімана
- •4. 3. 2. Рівномірно-неперервні функції. Теорема Кантора
- •4. 3. 3. Друге означення інтеграла Рімана
- •4. 3. 4. Властивості інтеграла Рімана
- •4. 3. 5. Інтеграл із змінною верхньою межею. Його властивості
- •4. 3. 6. Формула Ньютона-Лейбніца (основна формула інтегрального числення). Інтегрування методом підстановки та за частинами
- •4. 4. Застосування інтеграла Рімана
- •4. 4. 1. Площа криволінійної трапеції
- •4. 4. 2. Площа криволінійного сектора.
- •4. 4. 3. Об’єм тіла обертання
- •4. 4. 4. Довжина дуги кривої
- •4. 4. 5. Площа поверхні обертання
- •4. 4. 6. Координати центра ваги матеріальної дуги та пластинки. Теореми Гульдена
4. 4. 4. Довжина дуги кривої
Нехай неперервна на відрізку разом зі своєю першою похідною функція. Поставимо перед собою завдання обчислити довжину кривої, що є графіком цієї функції. Така крива називається гладкою.
.
Оскільки ми вміємо на даний момент вимірювати довжину лише відрізка, то традиційно поступаємо довільним чином. Візьмемо розбиття відрізка .
Утворимо на графіку нашої функції точки і з’єднаємо ці точки послідовно прямолінійними відрізками. Утвориться ламана, вписана в цю криву. Знайдемо довжину цієї ламаної. Спочатку однієї її ланки:
Отже довжина всієї ламаної:
(1)
Очевидно, отримана величина буде наближеним значенням «довжини» нашої кривої. Причому точність цього наближення буде тим вища чим дрібніше розбиття. Тому логічно дати наступне
Означення 1. Під довжиною кривої ми будемо розуміти , при умові, що границя існує.
Оскільки є інтегральною сумою для функції для розбиття відрізка і (не зовсім довільного) вибору точок , то, оскільки функція на є неперервною, а значить інтегрованою, то границя цієї суми при існуватиме і дорівнюватиме відповідному інтегралу.
Отже, ми встановили наступне:
Наша крива має довжину;
Вона обчислюється за формулою:
. (2)
Ми отримали формулу довжини кривої, яка задається явно в декартовій системі координат. Але ж крива може задаватися і параметрично, і зокрема в полярних координатах.
Отже, нехай – функція, неперервна на відрізку разом зі своїми першим похідними.
Цим ми задали деяку криву, яку ми теж будемо називати гладкою. Як обчислити довжину цієї кривої? Якщо припустити, що ця крива, або дана система рівнянь, задає як функцію від , то ми можемо в цьому випадку для обчислення довжини цієї кривої використати останню формулу довжини, де під тут розуміється похідна цієї параметрично заданої функції. Але ж .
Тоді
Отже, ми отримали, що в цьому випадку довжина кривої обчислюється за формулою:
(3)
Зауважимо, що остання формула вірна не тільки в тому випадку, коли наша крива задає як функцію від . Нею можна користуватися і для обчислення довжини кривої, яка задається параметрично при додатковій умові, що і неперервні разом зі своїми першими похідними на .
Залишається нам розглянути як обчислити довжину кривої, яка задається в полярних координатах. Нехай – деяка неперервна і невід’ємна разом зі своєї першою похідною на відрізку функція. Ця функція задаватиме в полярній системі координат деяку криву, довжину якої потрібно нам знайти. Зрозуміло, що для розв’язання цієї задачі можна скористатися формулою (2), якщо тільки ми зможемо параметризувати цю криву. А це, очевидно, можна зробити, якщо врахувати зв’язок між полярними і декартовими координатами.
.
Причому обидві функції справа в цих рівняннях будуть неперервні разом зі своїми похідними на . Отже можна застосувати (3) і для цього обчислимо і .
.
З рівності (3) зразу маємо:
(4)
формула для обчислення довжини кривої, заданої в полярних координатах.