4. 3. 3. Друге означення інтеграла Рімана
Нехай
– функція, задана на відрізку
і
– довільне розбиття цього відрізка.
На
відрізку
візьмемо
……………….
……………….
Таким
чином, ми тільки що здійснили якийсь
вибір точок
на елементарних відрізках
розбиття.
Тепер утворимо таку суму
,
яку
назвемо інтегральною
для функції
на
,
для даного
–
розбиття і даного вибору
точок
.
Очевидно для
розбиття
(фіксованого) і довільних виборів
справедливо
Означення
(2) інтеграла Рімана. Якщо
існує
,
яка не залежить від способу розбиття
ні від виборів
,
то вона називається інтегралом
Рімана,
а функція в цьому випадку називається
інтегрованою
за Ріманом.
Напишемо,
що означає остання рівність на мові
:
розбиття
(1)
Нерівність
виконується для будь-яких виборів
точок відрізка.
В
зв’язку з тим, що ми маємо два означення
інтеграла Рімана з’ясуємо чи вони
еквівалентні чи ні. Почнемо з того, що
начебто в другому означенні не вимагається
обмеженість функції на відрізку і тому
може закрастись думка, що сфера
застосування другого означення ширша.
Але це не так. Можна легко довести, що
якщо функція
необмежена на
,
то границя, яка написана в другому
означенні існувати не буде. Таким чином
перша конструкція неефективна коли
функція є необмеженою на
.
Теорема 1.
Означення 1 і 2 інтеграла Рімана рівносильні.
Доведення.
Нехай
в розумінні першого означення. Значить
.
Взявши
точок
на відрізках
розбиття,
будемо мати
.
Звідси,
з Леми 4 і рівності
за Теоремою про 2 міліціонери одержимо,
що
.
І, оскільки
від
не залежить, то остання рівність означає,
що функція інтегрована за Ріманом в
обох цих розуміннях.
Нехай
.
Те, що функція інтегрована в розумінні ІІ означення означає, що виконується (1). Останню нерівність можна переписати у вигляді:
Зауважимо,
що взявши будь-яке
розбиття,
при
,
ми отримаємо цілу множину інтегральних
сум, які відрізнятимуться між собою
різним вибором точок
.
Остання нерівність означає, що множина
цих інтегрованих сум є обмеженою знизу
і зверху. Значить існують
;
Звідси матимемо, що
(2)
Є
підозра, що друга і третя частини
нерівності (2) є відповідно нижня і верхня
суми Дарбу
по
.
Зауважимо, що вибір точок
не залежить ні від вибору точок на інших
відрізках, ні не чинить впливу на вибір
точок інших відрізків. А раз так, то
З верхньою сумою аналогічно. Значить нерівність (2) можна записати:
(3)
.
А
це означає, за критерієм інтегрованості,
що
в розумінні І означення. Те, що інтеграли
обидва рівні випливає з нерівності:
,
з якої маємо
.
тут
довільне, тому остання нерівність
можлива лише при умові
.
Таким чином, ми подали дві точки зору на одне і те ж питання. Тепер головною нашою задачею є прийти до якогось ефективного прийому обчислення інтеграла Рімана і, якщо це буде, то тоді добре було б показати навіщо він потрібний. Шлях до цих результатів ми почнемо з розгляду властивостей інтеграла Рімана, які в кінцевому випадку і виведуть нас на формулу його обчислення. А одержання цих властивостей, як буде видно з наступного параграфа, відбуватиметься за рахунок ІІ означення інтеграла Рімана.