4. 1. Невизначений інтеграл

4. 1. 1. Первісна. Невизначений інтеграл

В попередньому розділі ми, маючи функцію , задану на , шукали похідну цієї функції . Тут ми будемо розв’язувати іншу задачу, ми будемо мати функцію на і будемо шукати іншу функцію .

Очевидно, що проблема пошуку функції є оберненою до проблеми відшукання похідної. Цей розділ буде присвячений саме розв’язуванню оберненої проблеми.

Нехай функція – деяка функція, задана на проміжку .

Означення 1. Функція називається первісною до функції на інтервалі (можна і на відрізку ), якщо .

Розглянемо

Приклад.

. Тоді . Очевидно, що для буде мати також і (с=const) – теж буде первісною, до .

Наступна теорема вирішує питання про те, чи може первісна до функції мати інший вигляд ніж , де – якась первісна до на .

Теорема 1 (Про множину всіх первісних).

Якщо є первісною до на , то будь-яка інша первісна до на матиме вигляд , де – деяка const.

Доведення.

Розглянемо функцію . Очевидно ця функція є диференційованою на (адже такими є і ). Обчислимо Звідси, за наслідком з теореми Лагранжа, маємо, що – const на :

;

Теорема доведена.

Таким чином ми знаємо, що якщо є первісною до на , то множиною всіх первісних до буде наступна множина:

{}, .

Означення 2. Множина всі первісних функції до заданої функції на інтервалі називається невизначеним інтегралом і позначається

Із преамбули на початку розділу можна зробити висновок, що операції інтегрування і диференціювання є взаємооберненими і досвід з алгебри підказує, що слід чекати того, що введена операція інтегрування буде «складнішою» ніж диференціювання. Підтвердимо, що ці операції є взаємооберненими.

Нехай первісна до на , тоді і інтеграл:

;

Нехай тепер навпаки

Останні дві рівності підтверджують взаємооберненість операцій інтегрування і диференціювання.

При диференціюванні ми мали багато правил, які суттєво полегшували процедуру обчислення похідної. Чи є якісь правила для обчислення інтегралів?

Теорема 2 (Правила інтегрування).

Нехай – деякі функції, інтегровані на інтервалі і – деяка константа (), тоді справедливими тут будуть такі рівності:

1)

2) ,

Доведення.

1)

Нехай , на

, на

Розглянемо функцію

А це означає, що - є первісною на до . А тоді:

Тепер для того, щоб довести потрібну нам рівність 1) потрібно доказати, що сума множин і дорівнює множині (Під сумою цих множин ми будемо розуміти множину, елементами якої будуть функції, які утворяться від додавання будь-якого елемента першої множини і будь-якого елемента другої множини). З того, що – довільні дійсні константи зразу випливає, що означені вище дві множини є рівними, а значить рівність (1) теж вірна.

Зауважимо, що формули 1) і 2) можна записати в такому вигляді:

На відміну від правил диференціювання тут більше загальних правил інтегрування нема, хіба що дещо нижче буде ще дві формули, які з певною натяжкою можна віднести до аналогів деяких правил диференціювання в інтегруванні.

Наприклад.

1.

2.

Тут ми одержуємо аналог таблиці Похідних в Диференціальному численні – таблицю інтегралів.

Таблиця інтегралів

1.  .
2.  .
3.  .
4.  .
5.
6.
7.  .
8.
9.  .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15.
16.
17.
18.
19. .
20. .
21. .
22. .
23.