3. 1. 2. Диференційованість функції в точці. Зв’язок її з неперервністю і існуванням похідної

Означення 1. Функція називається диференційованою в точці з інтервалу , де визначена функція, якщо приріст цієї функції можна зобразити у вигляді

, (1)

де – число, незалежне від , а – нескінченно мала функція при , тобто

Зауважимо, що функція із зображення (1) не визначена при .

Наприклад.

Перевіримо, чи буде диференційованою в точці . Надамо приріст ().

, , коли .

Отже, ми показали, що функція диференційована в кожній точці числової осі, причому . З іншої сторони неважко переконатися, що похідна від теж дорівнює , а це наводить на думку, що між диференційованістю в точці і існуванням похідної в цій точці є певний зв’язок.

Цей зв’язок виражається наступним твердженням

Теорема 1 (Про зв’язок між диференційованістю і існуванням похідної).

Для того, щоб функція була диференційована в точці , необхідно і достатньо, щоб вона в цій точці мала похідну, причому в рівності (1) завжди дорівнює похідній .

Доведення:

Необхідність.

Нехай диференційована в точці . Тоді з означення маємо

(де задані вказаним вище умовам).

Поділимо обидві частини нерівності на :

Оскільки існує границя правої частини останньої рівності при , яка дорівнює , то і існуватиме границя лівої частини, яка дорівнює Значить, ми показали не тільки існування похідної, а й наявність рівності

Достатність.

Нехай існує . Тоді за означенням

(2)

Звідси маємо, що

Ясно, що з рівності (2) будемо мати, що

(3)

Тоді з передостанньої рівності, знайшовши одержимо

,

А це разом із (3) означає, що є диференційованою в точці . Теорема доведена.

Зауваження 1. Після цієї теореми в означенні диференційованості функції рівність (1) можна писати так:

, ( при ).

Зауваження 2. Як випливає з доведеної теореми, поняття диференційованості функції в точці і існування в цій точці похідної – еквівалентні.

У зв’язку з тим, що ми говорили про властивість функції бути в точці диференційованою і про неперервність функції в точці, виникає питання: Чи між цими двома властивостями функції існує якийсь зв’язок?

Нехай – диференційована в точці . Тоді її приріст можна зобразити у вигляді (1).

Ми одержали, що .

Якщо , то

;

А остання рівність означає, що неперервна в точці . Отже, ми довели

Теорема 2 (Про зв'язок диференційованості і неперервності)

Якщо диференційована в точці, то вона в цій точці неперервна.

Що стосується оберненого твердження, то воно невірне. В цьому нас переконує приклад функції , яка неперервна в точці , але не диференційована в ній, бо в цій точці не існує похідна.

Тепер перед нами стоїть задача, пошукати деякі правила, з допомогою яких можна було б ефективно обчислювати похідні різних функцій. Такі правила є і ми їх розглянемо в наступному параграфі.

3. 1. 3. Правила диференціювання

Нехай і – функції, диференційовані в точці . Тоді справедливою буде наступна

Теорема 1.

_Якщо і – функції, диференційовані в точці _{, то диференційованими в цій точці будуть і наступні функції :}

1) , причому вірно, що

2) , причому

Тут частковий випадок : (Тобто, сталий множник можна виносити за знак похідної)

3) Якщо при цьому , то

_{Доведення.}

3)

Нехай – диференційовані в точці функції. Доведемо, що теж диференційована в цій точці функція і має місце рівність

Нехай

Далі розглянемо частку:

(1)

Покажемо, що існує і встановимо чому дорівнює границя правої частини (1) при З того, що диференційована в точці маємо, що вона і неперервна в цій точці. А це означає, що

Звідси випливає, що існує границя знаменника правої частини, якщо , яка дорівнює . З умови маємо, що .

Повернемось до чисельника. З того, що і диференційовані в точці випливає, що існують і Звідси, із врахуванням того, що і від не залежать, маємо (за теоремою про границю різниці), що існує границя чисельника при , яка дорівнює

Отже, за теоремою про границю частки одержуємо, що існує границя правої частини рівності (1) при , а це означає, що існує і границя лівої частини (1), при , а це в свою чергу значить, що функція є диференційованою в точці . Крім того ми ще одержали рівність

Теорема у випадку частки доведена.

Попередні частини цієї теореми доводяться аналогічно, але простіше. Пропонуємо вам довести їх самостійно.

Приклад.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Крім правил відшукання похідної від арифметичних дій над диференційованими функціями є ще декілька правил.

Теорема 2. (Про похідну складної функції)

Нехай – функція, диференційована в точці , причому область значень цієї функції містить інтервал , якому належить точка , що дорівнює Тоді, якщо функція задана на інтервалі і диференційована в точці , то складна функція диференційована в точці , справедлива рівність:

,

_{Доведення.}

З того, що диференційована в точці , за означенням маємо, що її приріст можна зобразити у вигляді

, коли (2)

(зауважимо, що – це функція, яка визначена для .)

Враховуючи, що функція диференційована в точці маємо, що її приріст в точці , що відповідає одержаному рівністю (2) приросту , можна записати наступним чином

де коли (3)

Як випливає з означення диференційованості функція не визначена при , оскільки ми вибираємо не самі, а воно дається нам рівністю (2) . То не виключено, що при якомусь , набуде значення 0. Тоді при , (3) позбавлена змісту, бо не визначена . Щоб вирішити цю проблему доозначимо в нулі таким чином:

Нехай .

Тоді рівність (3) матиме зміст при всеможливих малих .

Підставивши в рівність (3) вираз з (2), матимемо:

().

Для доведення того, що функція є диференційованою в точці , достатньо показати, що А це випливає із самого означення величини від і з того, що коли , теж прямує до 0. Отже, ми зараз показали, що приріст функції в точці зображується у вигляді

А це і означає, що складна функція є диференційованою в точці і коефіцієнт при в першому доданку є її похідною в точці .

Отож маємо:

Теорема доведена.

Закінчимо розгляд правил диференціювання ще однією теоремою.

Теорема 3 (Про похідну оберненої функції).

Нехай – функція, задана в деякому околі точки , строго монотонна в цьому околі і диференційована в точці , причому . Тоді у відповідному околі точки () існуватиме обернена функція , яка в цій точці буде диференційована і справедлива рівність

Доведення.

З того, що функція строго монотонна випливає, що вона є оборотною. Тоді в існує функція , яка буде також монотонною. Для того, щоб довести, що вона в точці має похідну, надамо точці приріст , тоді дана функція одержить приріст , оскільки строго монотонна.

Розглянемо частку

З останньої рівності, врахувавши, що при , матимемо що й . З того, що існує відмінна від 0 границя одержимо, що

А, значить, існує границя лівої частини, коли

Отже, ми встановили існування похідної оберненої функції. Теорема доведена.

Приклад.

Застосуємо доведену теорему для одержання похідних. Нехай візьмемо . Очевидно, що попередня теорема може бути застосована для інтервалу в точках не виконується умова відмінності від 0. Звідси стає зрозуміло, що . За цією теоремою

(Знак «+» тому, що в 1 і 4 чвертях додатній.)

Отже, ми отримали, що

Аналогічно вирішуються проблеми інших обернених функцій.

Використовуючи всі вище одержані теореми, ми можемо скласти таблицю похідних.

_{Таблиця похідних.}

Функція	Похідна
	–
	1