Множення дійсних чисел

Оскільки добуток двох монотонно неспадних послідовностей не завжди є монотонно неспадною послідовністю, то введення добутку на множині дійсних чисел будемо здійснювати таким чином.

Нехай ідва довільні додатні дійсні числа і , - монотонно неспадні послідовності раціональних чисел, що задають ці числа (можна вважати, що всі члени цих послідовностей є додатні числа. Тоді розглянемо послідовністьВона буде обмеженою зверху послідовністю раціональних чисел і, крім того, монотонно неспадною. Значить ця послідовність визначає деяке дійсне число, яке і приймемо за добуток чиселі

Добуток будь-яких двох дійсних чисел введемо за таким правилом:

Можна довести, що введений вище добуток двох дійсних чисел теж підпорядковується асоціативному, комутативному, дистрибутивному законах.

Частка двох дійсних чисел

Для введення різниці дійсних чисел нам знадобилось поняття протилежного елемента. А зараз для введення частки двох дійсних чисел нам потрібно ввести поняття оберненого елемента.

Візьмемо За доведеною вище теоремою існує послідовність раціональних чисел , яка монотонно спадна і обмежена знизу. Причому можна вважати, що всі члени цієї послідовності мають один і той же знак, який співпадає зі знаком числа

Розглянемо послідовність раціональних чисел, яка є монотонно зростаючою і обмеженою зверху. Ця послідовність визначатиме деяке дійсне число, яке ми назвемо числом оберненим доі позначатимемоабоНеважко довести, що

Тепер вже можна ввести частку двох дійсних чисел: Таким чином ми побудували арифметику дійсних чисел. На кінець з’ясуємо, чи зобов’язана кожна монотонна і обмежена послідовність дійсних чисел мати серед цієї множини границю (як ми знаємо такі послідовності з множини раціональних чисел на цій множині границі можуть і не мати). Саме за рахунок цього ми одержали множину дійсних чисел. Як випливатиме з наступної теореми таким самим способом ми множину дійсних чисел не розширимо.

Теорема 3 (Вейєрштрасса). Кожна монотонно неспадна і обмежена зверху послідовність дійсних чисел збіжна до деякого дійсного числа.

Доведення. Нехай - монотонно неспадна і обмежена зверху послідовність. Можливі два варіанти:

1. вона стаціонарна;

2. вона не стаціонарна.

У 1) випадку послідовність збіжна до того числа, якому рівні всі члени цієї послідовності, починаючи з деякого номера. Тому розглянемо 2) випадок.

У цьому випадку послідовність може мати рівні члени, групи рівних членів. Цих груп може бути нескінченна кількість. Але кількість членів в кожній з цих груп обов’язково скінченна.

Розглянемо далі нову послідовність яка утворюється з попередньої шляхом вилучення з неї членів, які повторюються.

Наприклад, якщо то

Тоді новоутворена послідовність буде монотонно зростаючою і обмеженою зверху. Причому обидві ці послідовності збіжні до одного числа. Покажемо, що збіжна до деякого числа. Для цього побудуємо ще одну послідовність раціональних чисел наступним чином.

Розглянемо іпричомуТоді за доведеною вище теоремою,Між числамиі, детеж за цією теоремоюТому маємо,В результаті ми одержимо деяку послідовністьраціональних чисел, яка має такі властивості:

1) монотонно-зростаюча. Справді із побудови маємо: значить

2) обмежена зверху. Дійсно, згідно побудови маємо, що Але жобмежена, а тому обмеженою буде і(бо всі члени останньої є членами першої). ТомуЗначить послідовністьматиме за означенням границю, що є деяким дійсним числомОтже

Доведемо, що наша послідовність теж має своєю границею числоСправді із побудови послідовностімаємо, щоЗ цієї нерівності, а також з того, щоза теоремою „Про два міліціонери” маємо, щоТеорема доведена.

Зауважимо, що вірною буде також аналог останньої теореми у випадку, коли послідовність дійсних чисел:

1. монотонно зростаюча і обмежена зверху;

2. монотонно незростаюча і обмежена знизу;

3. монотонно спадна і обмежена знизу.

Ці теореми вирішують ще й питання про класи збіжних послідовностей. Ми дізнались зараз про не дуже вузький клас послідовностей, кожній з яких ми гарантуватимемо її збіжність – клас монотонних і обмежених послідовностей.

Застосуємо теорему Вейєрштрасса для доведення існування границі наступної важливої послідовності, Для цього ми розглянемо дещо іншу послідовність, а самеОцінимо частку

Таким чином ми довели, що а це означає, що послідовність- монотонно спадна. Оскільки всі члени цієї послідовності додатні числа, то вона ще й обмежена знизу, а значить за теоремою Вейєрштрасса вона збіжна вона збіжна, тобто існує деяке дійсне число

Можна довести, що це число буде ірраціональним. Воно в математичному аналізі відіграє таку ж важливу роль, як 1 в арифметиці або в геометрії.

Тільки-що доведена границя дозволяє розкривати невизначеність Оскількито з доведеної вище рівності за теоремою про границю частки одержимо, щоОдержані вище дві формули називаютьІІ цікавою границею.

Таким чином, ми розглянули множину дійсних чисел, задали на ній арифметичні операції, поряд з цим ми останньою теоремою визначили певний клас гарантовано збіжних послідовностей.

В наступному параграфі ми вивчимо ще деякі властивості дійсних чисел, кожна з яких могла б бути взята в якості означення дійсного числа.