2. 1. 4. Границя послідовності

Розглянемо послідовність . Якщо зобразити її члени на числовій осі, то можна помітити, що члени цієї послідовності із збільшенням номера „все ближче” наближаються до 1, причому так що послідовністьє нескінченно малою. Це означає, що число 1 є границею послідовностіДамо означення цьому поняттю.

Означення 1. Число називаєтьсяграницею послідовності і записуєтьсяякщо послідовність- нескінченно мала.

Вище ми довели, що Подивимось чи 2 не буде границею цієї ж послідовності.- не є нескінченно малою, бо всі її члени більші за 1.

Зауважимо, що послідовність, яка має границю називається збіжною, в протилежному випадку – розбіжною.

Якщо скористатися означенням 1 і означенням 1 з 1.1.3, то матимемо наступне.

Означення 2. Число є границеюякщо

або

абоабо

Таким чином, ми зараз можемо дати ще одне означення границі послідовності.

Означення 3. Число є границею послідовностіякщо

З цього означення зразу випливає: кожна нескінченно мала послідовність збіжна і її границя дорівнює 0.

Якщо об’єднати означення 1 і 1’ з попереднього параграфа, то одержимо ще одне

Означення 4.

,якщо

Вивчимо деякі властивості збіжних послідовностей. Те що число 2 не є границею послідовності яка збіжна до числа 1, наводить на думку, що вірною буде наступна

Теорема 1 (про єдність границі). Кожна збіжна послідовність має тільки одну границю.

Доведення. Доведемо цю теорему методом від супротивного. Припустимо, що збіжна послідовність має дві границііТоді з означення 1 матимемо- нескінченно малі послідовності.

Тоді абоіАле ж- нескінченно мала послідовність всі члени якої співпадають з одним і тим самим числомщо можливо лише при умові колиТеорема доведена.

З’ясуємо співвідношення між обмеженістю і збіжністю послідовності.

Теорема 2 (про обмеженість збіжної послідовності). Якщо послідовність - збіжна, то вона обмежена.

Доведення. Нехай Тоді за означенням 2 матимемо, що для

Позначимо черезТоді зрозуміло, щоотже послідовністьобмежена. Теорема доведена.

Чи вірне обернене твердження?

Для відповіді на це запитання розглянемо послідовність: Очевидно ця послідовність обмежена. З’ясуємо чи вона збіжна. Припустимо, що вона збіжна і– її границя. Тоді, згідно з означення 1і- нескінченно малі послідовності, а значить їх різниця теж нескінченно мала:Але

Остання послідовність не є нескінченно малою, бо вне ввійде жоден член цієї послідовності ( а повинні входити всі починаючи з деякого номера!). Тому розглядувана послідовністьрозбіжна, хоча й обмежена. Отже обернене твердження невірне.

З’ясуємо далі чи послідовності, що є результатами арифметичних дій над збіжними послідовностями залишаються в множині збіжних послідовностей.

Теорема 3. Нехай і- збіжні до чиселіпослідовності. Тоді збіжними будуть послідовності:

1.

2.

3. (при умові, що);

відповідно до границь

Доведення. 2. З того, що імаємо за означенням 1,

є нескінченно малими. Розглянемо послідовність і доведемо, що ця послідовність є нескінченно малою. Це означатиме, щоє збіжною іє її границею. Оскількито матимемо,

- нескінченно мала, як добуток двох нескінченно малих послідовностей;

- нескінченно малі, як добуток обмеженої на нескінченно малу.

Отже, - нескінченно мала послідовність, як сума трьох нескінченно малих послідовностей і теорему 3 у випадку 2 доведено.

Для доведення частини 3 теореми 3 нам потрібна буде

Лема. Якщо тоякщо її розглядати починаючи з деякого номера є обмеженою.

Доведення. З того, що матимемо за означенням 2, для

Звідси маємо, що

(1)

(2)

З нерівностей (1), (2) маємо:

1)

2) приабопри

А останні дві нерівності і означають, що послідовність (якщо її розглядати починаючи з номера) є обмеженою. Лема доведена.

Доведемо тепер твердження 3 теореми 3.

По-перше розглядатимемо з того номеращоб всібули відмінні від нуля. Розглянемо далі послідовністьдеяка є нескінченно малою, бо

- обмежена, як стаціонарна,

- обмежена за лемою;

- нескінченно малі, а , отже - теж нескінченно мала.

Оскільки - є нескінченно малою, то згідно означення 1, послідовність- збіжна і має своєю границею числоТеорема доведена.

Коротко попередню теорему можна переписати так:

Наприклад. бо- нескінченно малі послідовності.