5 Векторы. Линейные операции над векторами, разложение вектора по базису

1. Вектором называется направленный отрезок. Длина соответствующего отрезка называется модулем вектора. Модуль вектора

обозначается а или АВ (пишут также ,).

Векторы, расположенные на одной прямой пли па параллельных прямых, называются коллинеарными. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые направления и одинаковые модули.

Вектор называется нулевым, если его модуль равен 0.

2. Линейными называются действия сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число.

Линейные операции над векторами

Суммой двух векторовиназывается вектор, который идет из начала векторав конец векторапри условии, что векторприложен к концу вектора(правильно треугольника). Построение суммыизображено на рис. 1.

Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограма: если векторы иприведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то суммаесть вектор, совпадающий с диагональю этого паралеллограмма, идущей из общего началаи(рис. 2). Отсюда сразу следует, что.

Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника (см. рис. 3, где изображено построение суммы четырех векторов ,,,).

Разность двух векторовиназывается вектор, который в сумме с векторомсоставляет вектор. Если два вектораиприведены к общему началу, то разность ихесть вектор, идущий из конца(«вычитаемого») к концу(«уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом, то другой обозначается символом. Легко видеть, что. Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».

Произведение (или также) векторана числоназывается вектор, модуль которого равен произведению модуля векторана модуль числа; он параллелен векторуили лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор, если- число положительное, и противоположно вектору, если- число отрицательное.

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях векторов:

1). Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме ее проекций на эту же ось:

2). При умножении вектора на число его проекция умножается на то же число:

.

В частности, если

, ,

то

,

и

.

Если , то для любого числа

.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов

, ,

является пропорциональность их координат:

.

Тройка векторов ,,называется координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

1). Вектор лежит на оси Ох, вектор- на оси Оу, вектор- на оси Oz;

2). Каждый из векторов ,,направлен по своей оси в положительную сторону;

3). Векторы ,,единичные, то есть,,.

Каким бы ни был вектор , он всегда может быть разложен по базису,,, то есть может быть представлен в виде

;

коэффициенты этого разложения являются координатами вектора (то есть X, Y, Z суть проекции векторана координатные оси).