4 Координаты на прямой в плоскости и пространстве.Оси,направленные отрезки.

Расстояние d между точками A(x₁) и B(x₂) на оси:

Величина AB (алгебраическая) направленного отрезка на оси:

AB = x₂ - x₁.

Если известны координаты концов отрезка прямой, то тем самым положение отрезка на плоскости вполне определено. Координаты точки записываются в скобках рядом с названием точки, причем всегда на первом месте в прямоугольной системе координат записывается абсцисса точки, а на втором - ее ордината. Например, если x₁ - абсцисса точки A, а y₁ - ее ордината, то это записывается так: A(x₁, y₁).

У точки, лежащей на оси абсцисс, ордината равна нулю; у точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю. Обе координаты начала координат равны нулю.

Расстояние d между точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) плоскости определяется по формуле:

Проекции на оси координат направленного отрезка, или вектора на плоскости с началомA(x₁, y₁) и концом B(x₂, y₂):

Тангенс угла между отрезком и положительным направлением оси Ox определяется по формуле (этот угол отсчитывается от оси Ox против часовой стрелки):

Определенный по этой формуле является угловым коэффициентом прямой.

Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат и. Оси координат пересекаются в точке, которая называетсяначалом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.

Рис. 1

Положение точки на плоскости определяется двумя координатамии. Координатаравна длине отрезка, координата— длине отрезкав выбранных единицах измерения. Отрезкииопределяются линиями, проведёнными из точкипараллельно осямисоответственно.

При этом координате приписывается знак минус, если точкалежит на луче(а не на луче, как на рисунке). Координатеприписывается знак минус, если точкалежит на луче. Таким образом,иявляются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается какчисловая ось).

Координата называетсяабсциссой точки , координата—ординатой точки .

Символически это записывают так:

или

или указывают принадлежность координат конкретной точке с помощью индекса:

итд.

• В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси вверх, осьсмотрела направо. Обычно принято пользоваться правосторонними системами координат (если обратное не оговорено или не очевидно - например, их чертежа; иногда по каким-то соображениям бывает удобнее всё же пользоватьсялевосторонней системой координат).

• Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат и, называются координатными углами иликвадрантами (см. рис. 1).

• Если точка лежит в координатном углу I, то точкаимеет положительные абсциссу и ординату. Если точкалежит в координатном углу II, то точкаимеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точкалежит в координатном углу III, то точкаимеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точкалежит в координатном углу IV, то точкаимеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

• Прямоугольная система координат в пространстве

• Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трехмерное пространство, о более многомерных пространствах - см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат ,и. Оси координат пересекаются в точке, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно^[2]) одинаковы для всех осей. —ось абсцисс, —ось ординат, —ось аппликат.

• 

• 

• Рис. 2

• Положение точки в пространстве определяется тремя координатами,и. Координатаравна длине отрезка, координата— длине отрезка, координата— длине отрезкав выбранных единицах измерения. Отрезки,иопределяются плоскостями, проведёнными из точкипараллельно плоскостям,исоответственно.

• Координата называется абсциссой точки,

• координата — ординатой точки,

• координата —аппликатой точки .

• Символически это записывают так:

• 

• или

• 

• или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

• 

• итп.

• Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т.е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка лежала не как на рисунке - на луче, а на его продолжении в обратную сторону от точки(на отрицательной части оси), то абсциссаточкибыла бы отрицательной (минус расстоянию). Аналогично и для двух других осей.

• Прямоугольные все системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса - правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые. Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении еще и располагать их если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис.2 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами^[3] совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат можно используя правило правой руки, правило винта итп (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси).

• Направленные отрезки.Упорядоченная пара точек (А,В) называется напрвленным отрезком с началом в точке А и концом в точке В. Обозначается:

• Направленный отрезок изображается стрелкой, идущей из его начала в его конец (рис.1).Направленный отрезокназывают такжесвязанным вектором, а точку А - точкой его приложения.Если точки А и В различны, то напрвленный отрезок называетсяненулевым; если же точки А и В совпадают, то направленный отрезок , точнее,называетсянулевым и обозначается символом θ_A.

•     Напрвленный отрезок называетсяпараллельным прямой l (плоскости Р), если либо он нулевой , либо прямая АВ параллельна прямой l (соответственно плоскости Р).

•   Обозначение: ,.

•     Длиной напрвленного отрезка называется длина отрезка [АВ].

•   Обозначение: . Как следует из определения, длина нулевого и только нулевого направленного отрезка равнв нулю.

•     Ненулевые напрвленные отрезки иназываютсяодинаково направленными (сонапрвленными), если лучи [АВ) и [СD) имеют одинаковые напрвления, и противоположно напрвленными, если лучи [АВ) и [СD) имеют противоположные напрвления.

•   Обозначение: ↑↑и↑↓соответсвенно.

•     Направленнные отрезки иназываютсяравными, если середины отрезков [АD] и [ВС] совпадают (рис.2)

•   Обозначение: =. Как следует из определения, нулевой напрвленный отрезок равен любому другому нулевому и только нулевому напрвленному отрезку.

•     Из свойств параллелограмма (рис.2) следует, что ненулевые направленные отрезки и, не лежащие на одной прямой, равны тогда и только тогда, когда четырехугольник АВDС - параллелограмм. Для равных ненулевых отрезков, лежащих на одной прямой, возможен один из четырех вариантов расположения, изображенных на рис.2.