3.3 Выбор алгоритма оптимизации
Исходная задача (2) – (4), а также смежные с ней задачи (см.3.2) по своей природе смешанные, так как число ступеней иерархии, число узлов, степень узла характеризуются целочисленными значениями, маршрутные переменные xr(p) – непрерывны, а выбор пропускных способностей ТСС осуществляется из заданного дискретного ряда. Целесообразно провести регуляцию задачи, т. е. свести переменные к одному типу, например к целочисленному. Это допустимо, так как с достаточной для практики точностью поиск по переменным xr(p) может вестись с шагом 0,001 ÷ 0,01, а вместо пропускных способностей можно ориентироваться целочисленными переменными, обозначающими их тип. В этом случае наиболее выгодными становится применение методов штрафных функций (МШФ), поскольку структура ограничений, их линейность или нелинейность, гладкость или негладкость не играют принципиальной роли при решении задач минимизации. Кроме того, МШФ не требует, чтобы начальная точка принадлежала допустимой области [1].
Упрощение задачи, решаемой МШФ, достигается за счёт усложнения исходной целевой функции (ЦФ), которая заменяется обобщённой ЦФ F(X, h)
F(X, h) = П(X) + P(h)Ψ(X)→ min (35)
где Ψ (X) – функция вектора Х, причём Ψ(Х) = 0, если ограничения выполнены, (т. е. точка находится внутри допустимой области или на её границе) и Ψ(Х) ≠ 0 – в противном случае;
P(h) – монотонно возрастающая функция переменной h.
Использование обобщённых ЦФ делает возможным применение хорошо развитого аппарата минимизации без учёта ограничений, более простого, чем методы поиска условного минимума.
Поведение F(X, h) в допустимой области совпадает с П(Х), а вне допустимой – определяется штрафным членом P(h)Ψ(X), который быстро возрастает с удалением точки Х от допустимой области. Процесс минимизации сводится к решению последовательности задач (35) для различных значений h. Рассматривается некоторая (в общем случае неограниченная) последовательность {h k} положительных чисел. Для h1 > 0 отыскивается безусловный минимум функции F(X, h1), который обозначается Х(h1) и используется как начальное приближение при поиске безусловного локального минимума F(X,h2), где h2 > h1. процесс повторяется для h3, h4,… . Поскольку для бесконечно возрастающей последовательности hk локальные минимумы приближаются к допустимой области (далекие от допустимой области минимумы погашаются за счёт скорости роста штрафной функции), последовательность Х(hk) сходится к оптимальному решению Х*. Существует много разновидностей штрафных функций. Опыт оптимизации проектных решений на СМ показывает, что для оптимизации иерархических МСС более предпочтительна штрафная функция, рассчитанная на невыпуклый случай [1]:
где m0 – число ограничений;
h,
α
– параметры МШФ, h
> 0, αi>
0,
;
[ · ] – функция Ψ (Х);
φi (Х) –функции-ограничения, приведённые к неравенству вида Tqj(X) – Tq3 ≤ 0.
Формула (36) обладает определённой инертностью, не позволяющей алгоритму “застревать” в первом найденном локальном минимуме. Это важно, поскольку для иерархических МСС не удается показать выпуклость свёртки (36).
Практика показывает, что для нахождения решения достаточно 4-кратное решение задачи безусловной минимизации для h k, принимающих значения 1, 102, 104, 106.
Помимо вида штрафной функции эффективность МШФ существенно зависит от класса используемых алгоритмов безусловной минимизации. Практика показывает, что для минимизации плохо организованных функций типа (36) оказываются эффективными комбинации алгоритмов локального и глобального поиска, например, шагового алгоритма парных проб (ШАП) и метода случайного поиска с уменьшением интервала поиска (СПУИП) [1].
Согласно ШАП из производной точки Хj делается шаг по i-й координате Х(i)j+1 = Х(i)j + ΔХ(i). Он засчитывается, если F(Х(i)j+1)<F(Хj) После неудачного шага делается двойной в противоположном направлении, и он засчитывается, если F(Х(i)j+1) < F(Хj). В противном случае система возвращается в исходную точку Хj и производится смещение по другим координатам.
После останова ШАП, что соответствует нахождению локального экстремума или застреванию системы в “овраге”, производится уменьшение шага поиска ΔХ. По достижению минимального значения шага поиска ΔХmin = 1, производится передача управления СПУИП.
В рекуррентной форме СПУИП записывается следующим образом:
где = (ξ1, ξ2, … , ξ s) – единичный случайный вектор, равномерно распределённый по всем направлениям пространства оптимизируемых параметров.
Согласно (37), шаг в случайном направлении считается неудачным, если значение F(Хj) не уменьшается. В противном случае система смещается в точку Хj и управление передаётся ШАП. По достижению заданного объёма выборки производится уменьшение параметра Δх, что соответствует уменьшению области поиска, т. е. происходит локализация экстремума.
Таким образом ШАП непосредственно осуществляет поиск локального минимума в зону притяжения другого минимума, а СПУИП – “выпрыгивание” из локального минимума в зону притяжения другого минимума.