Используя выражение для функции плотности:

Аналогично из второго уравнения найдем a:

2.6.2. Графические методы

Графические методы сводятся к построению гистограммы и полигона. Для этого проводят вспомогательные вычисления.

Сначала значения в выборке ранжируют, т. е. располагают в порядке возрастания, и получают вариационный ряд:

x1 ≤ x2 ≤K≤ x n .

Такое представление является удобным, так как наглядно и позволяет сократить время при последующих расчетах.

Затем определяют число интервалов группирования m:

Полученное значение округляется до большего целого числа. Данная рекомендация не является “жесткой”, и для одного и того же объема выборки n в зависимости от предположений могут быть получены различные оценки для числа интервалов (см. табл. 10). Следует иметь ввиду, что при малом числе интервалов гистограмма будет сильно

сглаженной и можно просмотреть ее особенности, а при большом – начинают преобладать ошибки измерений.

Таблица 10

Оценки числа интервалов группирования, получаемые из различных предположений [13, 14]

После оценки числа интервалов группирования определяются ширина интервала группирования d, число значений вариационного ряда nj, попадающих в каждый интервал (эмпирические частоты), частость в

(2.142)

Сумма частостей W должна быть равна 1.

На следующем шаге строятся гистограмма и полигон. Для построения гистограммы на оси абсцисс отмечают границы всех интервалов. На каждом интервале как на основании, строят прямоугольник такой высоты, чтобы его площадь была равна частости этого интервала. Высота каждого прямоугольника представляет собой среднюю эмпирическую плотность вероятности того, что истинное значение измеряемой величины находится в соответствующем интервале. Общая площадь между осью абсцисс и ступенчатой кривой должна быть равна единице. Масштаб графика рекомендуется выбирать так, чтобы высота гистограммы относилась к ее основанию как 3 к 5 (это делает график наиболее наглядным).

Полигон распределения значений по интервалам получается соединением середин верхних сторон прямоугольников гистограммы. По внешнему виду гистограммы (полигона) либо наложением на него теоретической кривой функций плотности для различных распределений выдвигают гипотезу о виде закона распределения или более точно о согласовании эмпирического и теоретического распределения. Проверка гипотезы осуществляется по критериям согласия, так же как и для аналитических методов.

2.6.3. Проверка гипотезы о согласовании эмпирического и теоретического распределения по критериям согласия

Обычно используют так называемые критерии согласия Пирсона (χ2) и Крамера-Смирнова (ω2). В ряде случаев используют также критерий Колмогорова, основанный на сравнении интегральных функций распределения, но он менее информативен [14]. Критерий Пирсона можно применять при объемах выборок n ≥50 , а Критерий ω2 уже при n ≥40 . Последний критерий не требует предварительного группирования данных, т. е. свободен от ошибок, связанных со способом их группирования. Наиболее широко применяется критерий Пирсона, так как соответствующее распределение χ2 затабулировано и общеизвестно; кроме того он позволяет использовать результаты, полученные на предыдущих шагах. Проверка гипотезы по критерию Пирсона выполняется следующим образом.

качестве гипотезы, используя статистические таблицы или рассчитывая их самостоятельно по виду распределения с эмпирическими параметрами, определенными ранее методом моментов.

По теоретической кривой плотности распределения ϕ (Z i ) вычисляют теоретические числа значений (выравнивающие частоты) n$i в каждом интервале:

Объединяют соседние интервалы, эмпирическое число значений в которых меньше 5 (для сглаживания ошибок в данных).

Для каждого интервала после объединения вычисляют величину

χ 2i :

распределения.

Например, для нормального распределения по выборке определяют два параметра m и σ, поэтому r=2, а k = m0 − 3. Такое выражение для k в

случае нормального распределения получается потому, что частоты подчинены трем связям. Действительно, помимо условия, что сумма эмпирических частот (объем выборки n) фиксирована, от теоретического распределения естественно потребовать, чтобы выравнивающие частоты давали среднее значение и СКО, равные соответствующим параметрам, определенным по выборке. Таким образом, имеем три связи и k = m0 − 3.

эмпирических частот фиксирована и б) выравнивающие частоты должны давать среднее значение, равное соответствующему параметру, определенному по выборке. Аналогично определяется k для других распределений.

По полученному значению k, выбрав уровень значимости α (вероятность ошибки первого рода), определяем по статистическим таблицам распределения Пирсона критические (нижнее и верхнее)

плотности критерия χ2 (см. §2.5.). Можно использовать также одностороннюю критическую область для больших значений критерия,