Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальная металлургическая академия Украины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Обработка данных / [Romanov_V.N.,_Komarov_V.V.]_Teoriya_izmereny._Ana(BookFi.org).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2016

Размер:

1.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2812 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Рассмотрим несколько частных случаев:

1)зависимость имеет вид: y=a0. Составим систему (2.106):

a0 [x

]

[yx

]

[ y] =

mmin

0;mmax

j, k

∑yi

[ y]

]

N i=1

Saˆ0

;S0

∑(yi −aˆ

0 )

−1 i=1

y = a0 + a1 x

2) зависимость имеет вид:

Составляем систему (2.106):

a0 N + a1[x] =[ y]

mmin = 0;mmax =1 j = 0;1;k = 0;1 a

[x]

+ a

[x2

]=[ yx]

Из формулы (2.107) найдем:

ˆ = 0

N [x]

[ y]

[x]

]

;

[x] [x

]

;

[ yx]

]

;[x]

∑xi ;[x

∑xi ;[ y]

∑yi ;

i=1

[ yx] = ∑yI xi ;aˆ1 = 1

; 1 = N [ y]

i=1

[x]

[ yx]

Из (2.108) имеем для дисперсий:

2 = [x2 ]

2 =

−

2 +

;S0

∑[yi

)]

; Syˆ ( x)

Saˆ1 .

Saˆ0

S0 ;Saˆ1

(a0

a1 xi

Saˆ0

−2 i=1

3)зависимость имеет вид: y=a1x. Составляем систему (2.106):

m =1;m

max

=1; j =1;k =1 a [x2

]=[ yx]

min

Nyi xi2

aˆ1 = [[xxy2 ]]= ∑i=1

∑xi

i=1

S02

Saˆ1 =

;S0 =

∑(yi −a1 xi )

;Syˆ ( x) = x

Saˆ1

N −

∑xi2

1 i=1

i=1

2.4. Методы оценки числа измерений

Для того, чтобы определить ошибку измерения, необходимы многократные измерения. Интуитивно ясно, что выполнять очень много измерений бессмысленно, так как точность результата всегда ограничена точностью метода. Кроме того из (2.15) следует, что СКО выборочного среднего S x убывает с увеличением числа измерений n не слишком

быстро, всего лишь как n , тогда как затраты на эксперимент растут

пропорционально n, т.е. могут быстро превысить потери от неточного знания результата измерения. Для получения объективных оценок необходимого числа измерений используется несколько методов.

2.4.1. Оценка числа измерений, необходимого для получения x с

требуемой точностью

а) Точечная оценка. Потребуем, чтобы СКО среднего не превышало некоторого допустимого значения:

S x ≤ S0 ,

(2.112)

где S0 – допустимое значение СКО среднего, либо систематическая ошибка, например, ошибка метода.

Тогда из (2.112) следует, что

S n	≤ S0 ,
n
откуда и получаем оценку для n:
		S 2
nx	≥	n
		S02
где S n2
	– выборочная дисперсия единичного измерения.

Вводя	относительные ошибки: εn = Sn x и ε0 = S0 x ,
представить в виде:
nx	≥	ε	2
		ε	n
			2
			0

(2.113)

можно (2.113)

(2.114)

б) Более сильная точечная оценка может быть получена из критерия ничтожных ошибок. Пусть ошибка измерения является суммой

нескольких составляющих S Σ = ∑S(2k ) , в частности S Σ2 = S c2л. +S c2иcm. ,

где Sc2л. – ошибка выборочного среднего, Sc2иcm. – например, методическая ошибка. Из критерия ничтожных ошибок следует, что частной ошибкой можно пренебречь, если S k ≤0,3S Σ , т. е. случайной ошибкой можно

пренебречь, если Sñèñò Sc‘. ≥ 3 , что дает:

	Sn	2	(2.115)
	Sn

n ≥11
	SÑÈÑÒ

в) Интервальная оценка:

Для получения этой оценки потребуем, чтобы доверительный интервал для среднего не превышал некоторого допустимого значения:

	tα,k	S x ≤	0	(2.116)
где	0 – допустимое значение доверительного интервала.
	Из (2.116) следует, что
	nx	tα,k	S n	2
		≥		(2.117)

			0

где tα,k – значение определяемое из таблиц распределения Стьюдента при

уровне значимости α и числе степеней свободы k = n −1. Соотношение (2.117) является функциональным уравнением, так как n входит в обе части неравенства. Оно решается приближенно численным методом, подбором n с использованием таблиц распределения Стьюдента. Если n>30, то для оценки n можно использовать нормированное нормальное распределение и (2.117) преобразуется к виду:

	u		S	n	2
nx	≥	α		n	,	(2.118)
nx	≥				,	(2.118)
			0

где uα – определяется из таблицы н. н. р. и уже не зависит от n.

г) Точечная оценка числа измерений при косвенных измерениях. Пусть величина у связана с непосредственно измеряемыми

величинами известной функциональной зависимостью (см. раздел 2.2.5.)

yN	= f (xn(1) ,K, xn(k ) ).
	1	k

Тогда оценка для n может быть получена из условия равных влияний, а именно, потребуем, чтобы парциальные ошибки по всем аргументам были одинаковы (см. раздел 2.2.5.):

∂ f

(1) ≈K≈

( k ) =

(2.119)

∂ x n(1)

∂ x n(k )

x n1

x nk

где

N =

f (x n(11 ) ,K, x n(kk ) ).

Отсюда для числа измерений найдем:

S n

ni =

(2.120)

∂ f

∂ x (i)

(i)

x n

где ni – число измерений по аргументу х(i); значение частной производной берется при среднем значение аргумента.

2.4.2. Оценка числа измерений, необходимого для получения СКО среднего с требуемой точностью

В разделе 2.2.3. было показано, что доверительный интервал для дисперсии определяется распределением Пирсона, а именно:

(n −1)S

χ 2

α ≤

≤ χ 2

α c доверительной вероятностью Р.

σ 2

k;1−

Отсюда после несложных преобразований получим для

минимального числа измерений

−1 =

4ε 2

(2.121)

−

k;1−

; 2

где ε – относительная ошибка измерения СКО; k = n −1.

Соотношение (2.121) является функциональным уравнением, так как n входит в обе части. Оно решается приближенно с использованием таблиц распределения Пирсона.

При n>30 число измерений n можно оценить из соотношения:

	u		2
n −1	= 0,5	α	,	(2.122)

S		ε

где uα – находится из н. н. р. и не зависит от n.

2.4.3. Оценка числа измерений для определения допустимых границ

Пусть требуется оценить минимальной число измерений, необходимое для того, чтобы с заданной вероятностью Р некоторая часть генеральной совокупности γ находилась между минимальным и максимальным выборочными значениями. Оценка находится из уравнения Уилкcа:

nγ n−1− (n −1)γ n =α

(2.123)

В табл. 2 – 6 приведены результаты расчетов числа измерений различными методами.

Таблица 2

Расчет минимального числа измерений ( nx ) для получения x																с
					требуемой точностью

S n		S0	1	2		3		5		10		15		20		25
		S0
nx		по	1	4		9		25		100		225		400		625
(2.113)			1	4		9		25		100		225		400		625
(2.113)
					Расчет nx			по (2.115)						Таблица 3
					Расчет nx			по (2.115)

S n	S cиcm		1		2		3		4		5		10			20
	S cиcm
nx		по	11		44		99		176		275		1100		4400
(2.115)			11		44		99		176		275		1100		4400
(2.115)

Таблица 4

Расчет nx по (2.117) и (2.118)

	S n	1	2	3	4	5			10	20
	0
nx	по (2.117)	7	19	36	44	68			165	660
	P=0,95	7	19	36	44	68			165	660
	P=0,95
nx	по (2.117)	9	26	49	87	135			233	932
	Р=0,99	9	26	49	87	135			233	932
	Р=0,99
nx	по (2.118)	3	11	25	44	68			165	660
	Р=0,95	3	11	25	44	68			165	660
	Р=0,95
nx	по (2.118)	6	22	49	87	135			233	932
	Р=0,99	6	22	49	87	135			233	932
	Р=0,99
		Расчет nS по (2.122)*						Таблица 5
		Расчет nS по (2.122)*
	ε	0,01	0,02	0,05	0,10		0,30	0,50		1
	nS по (2.122)	13600	3400	545	137	17		7**		3**
	Р=0,95
	nS по (2.122)	27100	6775	1085	272	32		12**		4**
	Р=0,99

*) Оценки nS по (1.121) отличаются от приведенных лишь при больших ε,

для Р=0,95: n=6 при ε=0,71; n=11 при ε=0,36; n=4 при ε=1; n=21 при ε=0,28; для Р=0,99: n=7 при ε=1; n=11 при ε=0,66; n=21 при ε=0,41.

**) Оценки даны с округлением.

		Расчет n по (2.123)				Таблица 6
		Расчет n по (2.123)
Р				γ
Р	0,50	0,90	0,95	0,99	0,999		0,9999
	0,50	0,90	0,95	0,99	0,999		0,9999
0,50	3	17	34	168	1679		16783
0,80	5	29	59	299	2994		29943
0,90	7	38	77	388	3889		38896
0,95	8	46	93	473	4742		47437
0,99	11	64	130	662	6636		66381
0,999	14	89	181	920	9230		92330
0,9999	18	113	230	1171	11751		117559

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2812 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Обработка данных

#
13.02.2016822.98 Кб41ElemTreat.pdf
#
13.02.20161.05 Mб63excel_zadaci.pdf
#
13.02.20161.53 Mб66[Romanov_V.N.,_Komarov_V.V.]_Teoriya_izmereny._Ana(BookFi.org).pdf
#
13.02.2016991.46 Кб79[SHashkov_V.B.]_Obrabotka_yeksperimentalnueh_dannu(BookFi.org).pdf
#
13.02.20161.01 Mб114Обработка эксперимент данных.doc