могут выходить за допустимые пределы для какого-то одного закона распределения, либо оценки разных показателей могут соответствовать разным теоретическим законам распределения. Поэтому приходится выдвигать несколько гипотез и проводить сравнение с несколькими теоретическими распределениями. При использовании ЭВМ это может быть сделано достаточно быстро. Рассмотрим обе группы методов более подробно.
2.6.1. Аналитические методы
Кним относятся:
–метод основанный на определении характеристик формы распределения: коэффициента асимметрии и коэффициента эксцесса;
–метод основанный на определении коэффициента формы распределения;
–метод основанный на определении энтропийного коэффициента и контрэксцесса.
Прежде чем использовать эти методы следует проверить наличие в
выборке грубых ошибок (выбросов) и исключить их. Ясно, что признание того или иного измерения выбросом зависит от вида распределения. Для распределений, близких к нормальному, для исключения промахов используется правило “трех сигм” при доверительной вероятности P=0,9973. В случае, когда вид распределения заранее не известен, из выборки исключаются такие значения xi, для которых выполняются
неравенства x i |
< x r− |
|
или |
x i > x r+ ; x r+, x r− – |
границы выбросов, |
|||||||||
определяемые выражениями: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
x rm |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
(2.137) |
|||
= x n m S n 1 + |
2 |
|
−1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||
где x n |
– выборочное среднее; Sn – выборочное СКО; n – выборочный |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
S |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
контрэксцесс: |
|
2 |
; μ |
|
– выборочный четвертый центральный |
|||||||||
= |
n |
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
μ4n |
|
4n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
момент |
эмпирического |
распределения: |
μ4n = |
∑(x i − x n )4 ; A – |
||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i=1 |
||
коэффициент, значение которого выбирается в зависимости от доверительной вероятности в диапазоне от 0,85 до 1,30 (рекомендуется выбирать максимальное значение A, соответствующее вероятности
P=0,9973).
2.6.1.1. Определение выборочного коэффициента асимметрии γ an и коэффициента эксцесса γ эn
γ an = |
|
μ 3n |
, |
|
|
|
(2.138) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
где μ 3n |
|
S n3 |
|
|
|
|
|||
– выборочный третий центральный |
момент эмпирического |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
распределения: μ 3n = |
∑(x i − x n )3 . |
|
|||||||
|
|
||||||||
|
|
μ 4n |
|
|
|
n i=1 |
|
||
γ n = |
|
− 3 |
, |
|
|
(2.139) |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
S n4 |
|
|
|
|
||
2.6.1.2. Определение коэффициента формы распределение α
Коэффициент формы определяется из уравнения:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||
|
α Γ 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
Γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Эn = |
|
|
α |
|
α |
, |
|
|
|
(2.140) |
||||||
|
Γ |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
= μ4n |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где Эn – выборочный эксцесс: Э |
n |
Sn4 |
; Γ(x ) – гамма-функция от x, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
определяемая по таблицам [23].
Уравнение (2.140) решается приближенно численными методами. Ниже в табл. 8 приведены значения α для различных значений эксцесса, полученные из (2.140).
Таблица 8
Значения α по (2.140)
α |
0,5 |
0,55 |
0,73 |
0,77 |
0,83 |
0,9 |
1,0 |
1,5 |
2 |
6 |
Эп |
25 |
20 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
4 |
3 |
2 |
2.6.1.3. Определение энтропийного коэффициента
K n = |
эn |
; |
эn = |
d n |
, |
|||
|
|
1 |
|
m |
||||
|
S n |
|
− |
|
∑nj lg nj |
|
||
|
|
n |
|
|||||
2 10 j =1
(2.141)
где d – ширина интервала группирования данных; m – число интервалов группирования; nj – число значений в каждом интервале (см. ниже).
Полученные выборочные значения величин γ an , γ эn , αn, Kn и n
сравниваются с допустимыми значениями этих же величин для различных теоретических распределений (см. табл. 9) и по их согласованию делается предварительное заключение о законе распределения. Для грубого отбора бывает достаточно использовать два значения γ an и γ эn , однако такой
подход требует осторожности, особенно при n<200.
При сравнении следует иметь в виду, что из-за ошибок в данных может наблюдаться расхождение выборочных значений критериев и допустимых. Рекомендуется принять, что расхождение незначимо, если выполняется следующее соотношение:
Z n − Z дon ≤ (2K3)SZ ,
где Zn, Zдоп – выборочное и допустимое значение величины Z соответственно; SZ – выборочное СКО величины Z.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6(n −1) |
|
1 |
|
|||
В частности, для γ an : S |
|
|
|
2 |
; |
|||||||||||||||||
γ an |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
+ 3) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)(n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24n(n − 2)(n − 3) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
для γ эn : Sγ |
|
|
2 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 3)(n + 5) |
|
|
|
||||||||||
|
эn |
|
(n +1)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
для αn: Sαn |
= α n |
|
|
Sγ |
эn |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
γ эn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
для n: S n |
= |
1 |
n |
|
Sγ ýn |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
γ ýn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
для Kn: S K n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= K n |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Полученное предварительное заключение о виде закона распределения рассматривается как гипотеза (их может быть и несколько). Чтобы принять окончательное решение с определенной статистической достоверностью необходимо гипотезу проверить по одному из критериев согласия (см. ниже).
Таблица 9
Допустимые значения показателей формы для различных распределений [13,20]
Распределение |
|
Допустимые значения показателей |
|
|||
γ a |
γ э |
α |
|
|
K |
|
Нормальное |
0 |
0 |
2 |
0,56 |
2,07 |
|
Треугольное |
0 |
–0,6 |
5 |
0,65 |
2,02 |
|
Трапецеидальн |
0 |
0…–1,2 |
2…10 |
0,58…0,74 |
1,7…2,07 |
|
ое |
||||||
|
|
|
0,75 |
|
||
Равномерное |
0 |
–1,2 |
10 |
1,73 |
||
Симметричное |
|
|
|
|
|
|
экспоненциаль |
|
|
|
|
|
|
ное |
0 |
0,75…22 |
0,5…1,5 |
0,2…0,52 |
1,35…2,02 |
|
островершинно |
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
При использовании аналитических методов наибольшую трудность представляет необходимость определения выборочных значений параметров распределения, принятого в качестве гипотезы, при которых достигается наибольшее соответствие между теоретическим и эмпирическим распределениями. Эта задача решается методом моментов. Он заключается в том, что для произвольного распределения значения параметров определяются приравниванием теоретических значений моментов их выборочным оценкам:
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
n |
|
||
α1(первый момент)= ∫xp(x) dx = |
∑x i ; |
|||||||||
|
|
|||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
n i=1 |
|||
|
∞ |
1 |
|
|
n |
|
|
|||
α2(второй момент)= |
∫x2 p(x)dx = |
|
∑xi2 |
; |
||||||
|
n |
|
||||||||
|
−∞ |
|
|
i=1 |
|
|
||||
|
∞ |
1 |
|
|
n |
|
|
|||
α3(третий момент)= |
∫x3 p(x)dx = |
|
∑xi3 |
и т. д. |
||||||
n |
||||||||||
|
−∞ |
|
i=1 |
|
|
|||||
Число уравнений берется равным числу определяемых параметров. Полученная система уравнений решается, и находятся неизвестные значения параметров распределения. Например, если эмпирическое распределение мы хотим описать функцией нормального распределения, то необходимо определить два параметра m и σ. В этом случае в качестве оценок для m и σ выбираем соответственно выборочные значения среднего и СКО. Аналогично определяют параметры распределения и в других случаях. Рассмотрим пример. Пусть в качестве гипотезы выбрано прямоугольное (равномерное) распределение. Оно содержит два неизвестных параметра m и a (m – центр распределения; a – полуинтервал). Составляем систему двух уравнений: