3. Тунельний ефект

Нехай частинка, яка рухається в додатному напрямку осі ОХзустрічає на своєму шляху прямокутний потенціальний бар’єр висотоюU і шириноюl(рис. 297). Отже величинаU вздовж осіОХзмінюється так:

При даних умовах задачі класична частинка, маючи енергію Е, або пройде над бар’єром при, або відіб’ється від нього приі буде рухатися в зворотний бік.

Для частинки навіть при є відмінна від нуля ймовірність того, що частинка відіб’ється від бар’єра і буде рухатися у зворотний бік. Приє також відмінна від нуля ймовірність того, що частинка проникне через бар’єр і виявиться в області.

Рівняння Шредінгера для кожної з виділених областей має вигляд:

1 і 3: ;,

2: ;.

Загальні розв’язки цих диферен­ціальних рівнянь:

,

,

.

В області 3є лише хвиля, що пройшла через бар’єр і поширюється зліва направо. Тому коефіцієнт.

При E<U в області2q – уявне чис­ло, тобто, де.

У результаті

,

,

.

Отже, хвильова функція не дорівнює нулю і всередині бар’єра, а в області 3буде мати вигляд хвиль де Бройля з тим самим імпульсом, але меншою амплітудою.

Якісний вигляд функції ,інаведений на рис. 298.

Таким чином, квантова механіка приводить до принципово нового явища, яке називається тунельним ефектом, в результаті якого частинка може пройти через потенціальний бар’єр.

Знайдемо ймовірність проходження мікрочастинки крізь потенціальний бар’єр, або коефіцієнт пропускання. Цей коефіцієнт також називаютькоефіцієнтом прозорості бар’єра.Він дорівнює відношенню інтенсивності хвилі, що проходить через бар’єр, до інтенсивності хвилі, що падає на межу поділу областей1і2. Оскільки інтенсивність хвилі пропорційна до квадрату амплітуди коливань, то коефіцієнт прозорості бар’єра

.

Для того, щоб знайти це відношення, необхідно використати умови неперер­вності функції у всій області змінхвіддо, тобто

, .

Для того, щоб функція була глад­кою, повинні виконуватися умови

, .

Ці умови дають змогу виразити коефіцієнти через. В результаті

де .

Для потенціального бар’єра довільної форми:

,

де .

Із виразів для Dвидно, що коефіцієнт прозорості залежить від маси мікрочас­тинки, ширини бар’єра і від різниці.

Тунельний ефект є специфічним квантовим ефектом. Проходження мікрочастинки крізь область, в яку, згідно із законами класичної механіки, вона не може проникнути, можна пояснити співвідношенням невизначеностей. Невизначеність імпульсу на відрізкудорівнює. Зв’язана з цим розкидом в значеннях імпульсу кінетична енергіяможе виявитися достатньою для того, щоб повна енергія мікрочастинки виявилася більшою за потенціальну.

Проходження частинок через потен­ціальний бар’єр експериментально під­тверджено в явищі холодної емісії елек­тронів з металу. Тунельний ефект відіграє основну роль у явищах радіоактивного - розпаду, перебігу термоядерних реакцій.

§120. Атом водню у квантовій механіці

Розглянемо воднеподібні атоми, які складаються з нерухомого ядра із зарядом Zeі електрона, який рухається навколо нього. ПриZ=1це буде атом водню,Z=2іон гелію,Z=3двохкратно іонізований атом літіюта ін. Заряд ядра можна вважати точковим, а його електричне поле – сферично-симетричним.

Потенціальна енергія взаємодії електрона з ядром

,

де r– відносна відстань між електроном і ядром.

Графічно функція зображена на рис. 299.

Стан електрона в атомі водню описується хвильовою функцією , яка є роз­в’язком стаціонарного рівняння Шредінгера

,

де Е– повна енергія електрона в атомі, аm– маса електрона. Оскільки поле, в якому рухається електрон, є сферично-симетрич­ним, то для розв’язання рівняння Шредінгера використовують сферичну систему координат:. Підставляючи в рівняння Шредінгера оператор Лапласа в сферич­них координатах, прийдемо до рівняння:

.

Функцію можна зобразити добутком трьох функцій, кожна з яких залежить від однієї змінної:

.

Не вдаючись до математичного роз­в’язання цієї задачі, обмежимось розглядом важливих результатів, які з нього отримують, пояснивши їх основний зміст.

Для рівняння Шредінгера має розв’язки, що задовольняють вимоги однозначності, скінченності і неперервності хвильової функціїлише при власних значеннях енергії

,

де R– стала Рідберга,n – головне квантове число.

Розв’язок рівняння Шредінгера для атома водню приводить до появи дискретних енергетичних рівнів. Нижній рівень , що відповідає мінімально можливій енергії – основний, всі іншізбуд­жені. Прирух електрона є зв’язаним – він знаходиться всередині гіперболічної „потенціальної ями”. У міру зростання головного квантового числаnенергетичні рівні розміщуються тісніше і при. Прирух електрона є вільний – він може покинути межі атома. Енергія іонізації атома водню дорівнює:

.

У квантовій механіці дискретні значення енергій є наслідком самої теорії, вони випливають безпосередньо з розв’язків рівняння Шредінгера.

Рівняння Шредінгера задовольняють власні функції , що визначаються трьома квантовими числами: головнимn, орбітальнимlі магнітним.

Головне квантове число n визначає енергетичні рівні електрона в атомі

Воно може набувати довільних цілочислових значень, починаючи з одиниці: n=1, 2, 3,...

Зрозв’язків рівняння Шредінгера випливає, що момент імпульсу (механічний орбітальний момент) електрона квантується, тобто не може бути довільним, а набуває дискретних значень, які обчислюють за формулою

,

де l – орбітальне квантове число, що виз­начає величину модуля вектора моменту імпульсу електрона в атомі

При заданому nнабуває значення, тобто разомnзначень.

З розв’язків рівняння Шредінгера виходить також, що вектор моменту імпульсу електрона може мати лише таку орієнтацію в просторі, при якій проекціяна довільний напрямокОZнабуває квантових значень, кратних:

,

де -магнітне квантове число, яке виз­начає проекцію моменту імпульсу елек­трона на заданий напрямок OZ.

Магнітне квантоване число при заданому l може набувати значеннятобто разомзначень. Фізичний сенс обмеженняза величиною полягає в тому, що проекція вектора моменту не може бути більшою за довжину самого вектора.

На рис. 300 наведені можливі орієнтації векторів для електронів у випадкуі.

Коли проекція має деяке значення,то на основі співвідношення невиз­наченості інших проекційтабудуть повністю невизначени­ми. Отже, вектор моменту імпульсу можна зобразити у вигляді вектора довжиною, який прецесує навколо осіОZі зберігає свою проекцію на вісьОZ(рис. 301).

В магнітному полі рівень з голов­ним квантовим числом nвнаслідок наявності квантового числарозщеплюється напідрівнів. Відповідно у спектрі атома повинно спостерігатися розщеплення спектральних ліній. Розщеплення енергетичних рівнів в магнітному полі було виявлено Т. Зееманом і називаєтьсяефектом Зеемана. Розщеплення рівнів енергій у зовнішньому електричному полі називаєтьсяефектом Штарка.

Хоча енергія електрона і залежить від головного квантового числа n, але кож­ному значенню(при) відповідає декілька власних функцій, що від­різняються значеннямиli. Отже, атом водню може мати одне і те ж значення енергії, перебуваючи в декількох різних станах. Оскільки при даномуnорбітальне квантове числоlможе змінюватись від0до, а кожному значеннюlвідповідаєрізних значень, то число різних станів, що відповідають даномуn, дорівнює

.

Стани з однаковою енергією називаються виродженими, а кількість станів з певним значенням енергії називаютькратністю виродження відповідного енергетичного рівня.

Якщо рух електрона має сферичну симетрію, то його розподіл у просторі залежить лише від радіальної складової хвильової функції. Ймовірністьвиявлення електрона в сферичному шарі товщиноюdrна відстаніrвід ядра дорівнює об’єму цього шаруна квадрат модуля:

.

Отже, лінійна густина ймовірності виявлення електрона на відстаніrвід ядра атома дорівнює

.

На рис. 302 зображено залежність від радіусаrдля перших трьох станів електрона в атомі водню.

Густина ймовірності для основного стану атомаспочатку до­рівнює нулю, а потім зростає до максимуму і далі експоненціально зменшується.

Отже, густина ймовірності виявлення електрона в різних частинах атома різна. Електрон при своєму русі ніби „розмазаний” по всьому об’єму, створюючи електронну хмару, густина якої характеризує ймовірність знаходження електрона в різних точках об’єму атома.

Квантові числа n i l характеризують розмір і форму електронної хмари, а квантове число характеризує орієнтацію електронної хмари в просторі(рис. 303).

Стан електрона, що характеризується квантовим числом , називаєтьсяs-станом (електрон в цьому стані називаєтьсяs-електроном),–p-станом;–d-станом;–f-станом і так далі.

Значення головного квантового чис­ла вказується перед умовним позначенням орбітального квантового числа: