§117. Хвильова функція і її статистичний зміст

Згідно з ідеєю де Бройля із рухом частинок пов’язані певні хвильові процеси. Розглянемо вільну частинку, яка рухається вздовж осі ОХі характеризується енергієюта імпульсом. При цьому частинка не локалізована в якійсь певній точці простору, а займає весь простір. Така частинка описується плоскою монохроматичною хвилею. Фаза цієї хвилі має виг­ляд:

.

Напрямок хвильового вектора збігається з напрямком поширення хвилі, а його числове значення дорівнює хвильовому числу, а частотазв’язана з енергією частинкиЕспіввідношенням.

Тому, враховуючи що

, ,

вираз для фази Фможна звести до вигляду

.

Плоска хвиля де Бройля вільної частинки – функція комплексна:

.

Швидкість поширення хвилі де Бройля можна знайти як швидкість переміщення сталої фази

.

Звідси

.

Оскільки , то фазова швидкість хвиль де Бройля більша від швидкості світла у вакуумі.

Хвилі де Бройля зазнають великої дисперсії, оскільки .

Групова швидкість хвилі де Бройля

.

Для вільної частинки

і

.

Групова швидкість хвиль де Бройля дорівнює швидкості частинки.

Якщо частинка рухається в довільному напрямку, то хвиля де Бройля

.

Функція – називається хвильовою функцією,А– її амплітуда.

З’ясуємо фізичний зміст хвильової функції.

Дифракційна картина для мікрочастинок є проявом статистичної закономірності, згідно з якою частинки потрапляють в ті місця, де інтенсивність хвиль де Бройля найбільша.

Необхідність ймовірнісного підходу до опису мікрочастинок є важливою особливістю квантової теорії. Однак, якщо вважати, що хвилі де Бройля характеризують ймовірність виявлення частинки в деяких точках простору, то при від’ємному значенні хвиль ймовірність може бути від’ємна, що не має сенсу.

У 1926р. М.Борн запропонував статистичнуінтерпретацію хвильової функції:

ймовірність експериментального виявлення частинки, що описується хвильовою функцією в точці(x, y, z) в момент часу t пропорційна до квадрату модуля хвильової функції в цій точці в момент часу t, – функція, яка комплексно спряжена з.

Дифракційну картину пучка елек­тронів можна інтерпретувати так: світлі плями відповідають максимуму , і разом з тим найбільшій кількості електронів, що летять у відповідному напрямку. Ймовірність руху електронів у напрямку темних плям буде мінімальною.

Отже, в квантовій механіці стан мікрочастинок описується принципово по-новому – за допомогою хвильової функції, яка є основним носієм інформації про їх корпускулярні і хвильові властивості.

Ймовірність знаходження частинки в елементарному об’ємі dVдорівнює:

,

де величина єгустиною ймо­вірності, тобто визначає ймовірність знаходження частинки в одиничному об’ємі в околі точки з координатамиx, y, z.

Таким чином, фізичний сенс має не сама функція , а квадрат її модуля, яким визначається інтенсивність хвиль де Бройля.

Ймовірність знайти частинку в момент часу tв скінченному об’єміVзгідно з теоремою додавання імовірностей, дорівнює

.

Оскільки визначається як ймовірність, то хвильову функціюнеобхідно нормувати так, щоб ймовірністьwдостовірної події дорівнювала одиниці, якщо за об’ємVприйняти нескінченний об’єм всього простору. Це означає, що при даній умові частинка повинна знаходитись десь в просторі. Отже,умова нормування ймовірностей:

,

де потрійний інтеграл обчислюють по всьому нескінченному простору. Ця формула означає, що перебування частинки у просторі є достовірною подією і її ймовірність повинна дорівнювати одиниці.

Щоб хвильова функція була об’єк­тивною характеристикою стану мікрочастинок, вона повинна задовольняти ряд обмежуючих умов:

1. функція , що характеризує ймовірність виявлення мікрочастинки в елементі об’єму, повинна бутискінченною(ймовірність не може бути більшою від одиниці),однозначною(ймовірність не може бути неоднозначною величиною) інеперервною(ймовірність не може змінюватись стрибком);

2. похідні ,,,повинні бути неперервні;

3. функція повинна бути інтегрованою.

Хвильова функція задовольняє принцип суперпозиції: якщо система може знаходитись в різних станах, що описуються хвильовими функціями,,..., то вона також може знаходитись в стані, що описується лінійною комбінацією цих функцій:

,

де – деякі комплексні числа.

За допомогою хвильової функції в квантовій механіці можна обчислити се­редні значення фізичних величин, які характеризують певний об’єкт, що перебуває в стані, який описує хвильова функція . Обчислимо, наприклад, середню відстань від електрона до ядра в атомі. Ймовірність виявлення електрона в атомі в елементі об’ємуdVдорівнює. Величина

є сумою добутків різних відстаней rвід електрона до ядра на ймовірність цих відстаней. Середнє значеннявідстані електрона від ядра буде визначене відношенням величиниRдо повної ймовірності виявлення електрона в якійсь точці простору:

.

Знаменник цього дробу дорівнює одиниці. Тому

.