§119. Рух вільної частинки. Частинка в прямокутній потенціальній ямі. Тунельний ефект

Розглянемо декілька порівняно простих прикладів застосування рівняння Шредінгера до руху частинки в конкретних умовах.

1. Рух вільної частинки

Під час руху вільної частинки повна енергія збігається з кінетичною. Для вільної частинки, що рухається вздовж осіОХ,, рівняння Шредінгера для стаціонарних станів набирає вигляду

.

Прямою підстановкою можна переконатися в тому, що частковим розв’язком рівняння є функція

,

де AiB– сталі. Функціяє тільки координатною частиною хвильової функціїстаціонарного стану. Розв’язок пов­ного рівняння Шредінгера отримаємо у формі

.

Цей розв’язок є суперпозицією двох плоских монохроматичних хвиль однакової частоти , хвиля з амплітудоюАпоширюється в додатному напрямі осіОХ, хвиля з амплітудоюу протилежному напрямку. Порівнюючи знайдені розв’язки з загальним виразом плоскої монохроматичної хвилі, бачимо, що хвильове числоkдля вільної частинки дорівнює.

Отже, вільній частинці в квантовій механіці відповідає плоска монохроматична хвиля де Бройля. Вона характеризує ймовірність знаходження частинки в певній точці простору.

Дійсно, взявши лише одну з хвиль, що поширюється в додатному напрямку осі ОХ, маємо

.

Власні значення енергії частинки

.

Енергія вільної частинки може набувати довільне значення, тобто її енергетичний спектр неперервний.

2. Частинка в одномірній прямокутній потенціальній ямі

Нехай частинка може рухатися лише вздовж осі ОХі знаходиться всередині прямокутної потенціальної ями, яка обмежена нескінчено високими потенціальними бар’єрами. (рис. 295). В цьому випадку потенціальна енергія частинкинабуватиме такі значення: ,

де – ширина ями, а енергія відраховується від дна ями.

Рівняння Шредінгера у випадку одномірної ями запишемо у вигляді

.

За умовою задачі (нескінченно високі „стінки”) частинка не проникає за границі ями, тому імовірність її виявлення за границями ями дорівнює нулю. На границях ями (при x=0іx=l) неперервна хвильова функція повинна перетворюватися в нуль. Отже, граничні умови мають вигляд

.

В межах ями рівняння Шредінгера має вигляд

, ,

де .

Загальний розв’язок цього диферен­ціального рівняння:

.

Оскільки , то. Отже,

.

Умова виконується лише при, деn– цілі числа, тобто необхідно, щоб. Тоді

i .

Рівняння Шредінгера задовольняється лише при значеннях , що залежать від цілого числаn.

Отже, енергія частинки в по­тенціальній ямі з нескінченно високими стінками не може бути довільною, а набуває лише певні дискретні значення, тобто квантується.

Квантові значення енергії називаютьрівнями енергії, а числоn, яке виз­начає енергетичні рівні частинки, називаютьквантовим числом.

Умова має простий фізичний зміст. Оскільки, де– довжина хвилі де Бройля для електрона в ямі, то , або, тобто на ширині ями повинно вкладатись ціле число півхвиль де Бройля.

Знайдемо власні хвильові функції

.

Сталу інтегрування Aвизначаємо з умови нормування

.

Звідси . Тоді власні хвильові функції мають вигляд:

, .

На рис. 296а наведені графіки функ­ціїприn=1, 2, 3,на рис. 296б – гус­тини ймовірності знаходження частинкина різних відстанях від „стінок” ями дляn=1, 2, 3.

Наприклад, у квантовому стані з n=2частинка не може знаходитись в середині ями і в той же час однаково часто може перебувати в її лівій або правій частині.

Квантовий стан з найнижчим значенням енергії (n=1) називаєтьсяосновним станом. Йому відповідає енергія

.

Оцінимо різницю енергій двох су­сідніх рівнів:

.

Для електрона при розмірах ями (вільні електрони в металі)

.

Енергетичні рівні розміщені так тіс­но, що спектр практично можна вважати неперервним. Якщо область, в якій рухається електрон, порядку атомних розмірів , то

.

Отже, дискретність енергетичних рівнів в цьому випадку буде досить помітною і отримуємо лінійчастий спектр.

При великих квантових числах

,

тобто сусідні рівні розміщені тим густіше, чим більше n. Якщоnдуже велике, то можна говорити про практично непе­рервну послідовність рівнів, і характерна особливість квантових процесів – дискретність – згладжується.