§118. Рівняння Шредінгера. Принцип причинності в квантовій механіці

Статистичне трактування хвиль де Бройля і співвідношення невизначеностей Гейзенберга привели до висновку, що рівнянням руху в квантовій механіці, яке описує рух мікрочастинок в різних силових полях, повинно бути рівняння, з якого виходили би хвильові властивості частинок, які спостерігаються під час досліду. Основне рівняння повинно бути диференціальним рівнянням відносно хвильової функції , оскільки, величина, визначає ймовірність перебування частинок в момент часуt в об’єміdV. Оскільки шукане рівняння повинно враховувати хвильові властивості частинок, то воно повинно бути хвильовим рівнянням.

Основне рівняння нерелятивістської квантової механіки сформульовано в 1926 р. Е. Шредінгером. Рівняння Шредінгера, як і всі основні рівняння фізики, не виводиться, а постулюється. Правильність цього рівняння підтверджується узгодженням з експериментами, що, у свою чергу, надає йому характер закону природи.

Ідея Шредінгера полягала в тому, щоб дістати диференціальне рівняння розв’язком якого для нерелятивістського випадку є хвильова– функція вигляду

.

Частинна похідна за часом tвіддорівнює

.

Візьмемо другу похідну від - функції за кординатоюх

,

.

Додаючи другі похідні за просторовими координатами, маємо

,

або

,

де оператор Лапласа.

З виразів для похідних за часом і координатами отримаємо

; .

У випадку вільної частинки повна енергія Езбігається з кінетичною, причому. Отже,

.

В результаті диференціальне рівняння Шредінгера для вільної частинки має вигляд

або

.

Якщо частинка має потенціальну енергію U(x, y, z, t), то кінетична енергія. Тоді

,

.

Оскільки

,

то отримаємо загальне часове рівняння Шредінгера

.

Наведені міркування не повинні сприйматися як виведення рівняння Шредінгера. Вони лише пояснюють, як можна прийти до цього рівняння. Доказом пра­вильності рівняння Шредінгера є його узгодження з результатами експерименту.

З погляду математики рівняння Шредінгера є лінійним диференціальним рівнянням з частинними похідними. З теорії диференціальних рівнянь відомо, що кожне лінійне рівняння з частинними похідними має багато розв’язків, причому таких, що лінійна комбінація будь-якої сукупності розв’язків рівняння також буде розв’язком рівняння.

Для значної кількості фізичних явищ, які відбуваються в мікросвіті, наприклад, для опису поведінки електрона в атомі у ряді випадків важливо вміти знаходити стаціонарні розв’язки рівняння Шредінгера, які не містять часу.

Щоб розв’язати цю задачу, треба знайти так зване стаціонарне рівняння Шредінгера, в якому виключено залежність від часу. Воно має сенс для тих задач, в яких потенціальна енергіяU не залежить від часу:. Шукатимемо розв’язок рівняння Шредінгера у вигляді добутку:

,

де є функцією лише координат, аЕ– повна енергія частинки.

Підставимо вираз для у рівняння Шредінгера

.

Скоротивши на множник , дістанемо

.

Це стаціонарне рівняння Шредінгера.

Наведене рівняння – найважливіше співвідношення нерелятивістської квантової механіки. Функції , які задовольняють рівняння Шредінгера при певномуЕ, називаютьвласними функціями. В рівнянні Шредінгера як параметр входить повна енергія частинки. В теорії диференціальних рівнянь доводиться, що подібні рівняння мають розв’язок не при довільних значеннях параметра, а лише при певних значенняхЕ. Ці значенняенергіїназиваютьвласними.

Власні значення Еможуть утворювати як неперервний, так і дискретний ряд.

Стан частинки в певний момент часу описується періодичною функцією часу з циклічною частотою , яка визначається повною енергією частинки.

Рівняння Шредінгера дає змогу знайти не тільки конкретний вигляд функції у заданому зовнішньому полі, а й визначити її зміну з часом. Отже, рівняння Шредінгера виступає як свого роду „причина” того, який вигляд має– функція в тому чи іншому випадку і як вона змінюється з часом. Знання ж – функції дає змогу знайти всі можливі значення важливих фізичних параметрів фізичної системи у будь-який момент часу.

Отже, рівняння Шредінгера є математичним виразом принципу причиннос­ті в квантовій механіці.

Але на відміну від класичної фізики, квантова механіка не дає чіткої відповіді на запитання, які точні значення параметрів у даний момент часу. - функція, вказуючи цілий спектр можливих значень параметрів системи, дає змогу обчислити лише ймовірність появи кожного значення під час вимірювання.