§122. Принцип Паулі. Розподіл електронів в атомі за станами

Якщо перейти від розгляду руху однієї мікрочастинки до багатоелектронних систем, то проявляються особливі властивості, що не мають аналога в кла­сичній фізиці. Нехай квантово-механічна система складається з однакових частинок, наприклад, електронів. Всі електрони мають однакові фізичні властивості – масу, електричний заряд, спін і т. д. Такі частинки в квантові механіці є тотожними.

Незвичайні властивості системи однакових частинок проявляються у фундаментальному принципі квантової механіки – принципі тотожності частинок:

внаслідок тотожності однакових частинок, що утворюють систему, стани системи, які відрізняються лише перестановкою частинок, є еквівалентними.

У квантовій механіці тотожні частинки повністю втрачають свою індивідуальність і стають нерозрізнимими.

Беручи до уваги фізичний зміст величини , принцип нерозрізнимості тотожних частинок можна записати у вигляді

,

де – сукупність просторових і спінової координаті-їчастинки. З цього виразу випливає, що можливі два випад­ки:

,

тобто принцип тотожності частинок веде до певних властивостей симетрії їх хвильових функцій. Якщо при обміні частинок місцями хвильова функція не змінює знака, то вона називається симетричною, якщо змінює –антисиметричною. Характер симетрії хвильової функції не міняється з часом. Це є доказом того, що властивість симетрії чи антисиметрії – ознака даного типу мікрочастинок.

Симетрія чи антисиметрія хвильових функцій визначається спіном частинок. Залежно від характеру симетрії всі елементарні частинки і побудовані з них системи діляться на два класи. Результати різних експериментів показали, що частин­ки з півцілим спіном (електрони, протони, нейтрони) описуються антисиметричними хвильовими функціями. Ці частинки називаються ферміонами. Частинки з нульовим і цілочисловим спіном (-мезони, фотони) описуються симетричними хвильовими функціями і називаютьсябозонами.

Якщо тотожні частинки мають однакові квантові числа, то їх хвильова функція симетрична відносно перестановки частинок. Звідси виходить, що два однакові ферміони, що входять в одну систему, не можуть знаходитись в однакових станах, оскільки для ферміонів хвильова функція повинна бути антисиметричною. Узагальнюючи дослідні дані, В.Паулі у 1925 р. сформулював принцип, згідно з яким

системи ферміонів зустрічаються в природі лише у станах, що описуються антисиметричними хвильовими функціями (квантово – механічне формулювання принципу Паулі).

Із сформульованого положення вип­ливає і елементарне формулюванняпринципу Паулі, яке і було введено ним у квантову теорію (1925 р.) ще до побудови квантової механіки:

в системі однакових ферміонів довільні два або більше з них не можуть одночасно знаходитися в одному і тому ж стані.

Кількість однотипних бозонів, що знаходяться в одному і тому ж стані, не лімітується.

Розподіл електронів в атомі відповідає принципу Паулі, який може бути використаний в його простішому формулюванні:

в одному і тому ж атомі не може бути більше від одного електрона з однаковим повним набором чотирьох квантових чиселі, тобто

, або1,

де – кількість електронів, що перебувають у стані, який описується набором квантових чисел і .

Користуючись принципом Паулі, можна знайти максимальну кількість електронів в атомі, що мають задані значення трьох (n, l, m), двох(n, l)і одного(n)квантових чисел.

Оскільки , то максимальна кількість електронів, що перебуває у станах, які визначаються набором трьох квантових чисел, дорівнює

.

При заданому числовому значенні вектор моменту імпульсуможе мати в просторірізних орієнтацій, і тому максимальна кількість електронів, що перебувають у станах, які визначаються двома квантовими числамиn, і l, дорівнює

.

Значення для різних значеньнаведено в таблиці:

l	0	1	2	3	4
символ відпо­відного стану електронів	s	p	d	f	g
	2	6	10	14	16

Число l при заданому значенніnзмінюється від0доn-1, то максимальна кількість електронів, що перебуває у станах, що визначається значенням головного квантового числаn,

.

Сукупність електронів, що мають однакові значення квантового числа n, утворює оболонку. Оболонки поділяються на підоболонки, що відрізняються значенням квантового числаl. Відповідно до значенняnоболонкам дають позначення, які взяті зі спектроскопії рентгенівських про­менів:

n	1	2	3	4	5	6	7
позначення оболонок	K	L	M	N	O	P	Q

Оскільки орбітальне квантове число набуває значення від 0доn-1,то кількість підоболонок дорівнює порядковому номеруnоболонки. Кількість електронів в підоболонці визначається магнітним і магнітним спіновим квантовими числами. позначення оболонок і розподіл електронів в підоболонках наведено в таблиці:

обо­лонка	n	l	ml	ms	підобо­ лонка	кількість електронів
K	1	0	0	↑↓	K(ls)	2
L	2	0	0	↑↓	L1(2s)	2
		1	-1	↑↓	L2(2s)	6
			0	↑↓
			+1	↑↓
M	3	0	0	↑↓	M1(3s)	2
		1	-1	↑↓	M2(3p)	6
			0	↑↓
			+1	↑↓
		2	-2	↑↓	M3(3d)	10
			-1	↑↓
			0	↑↓
			+1	↑↓
			+2	↑↓