4.5. Політропний процес

Термодинамічний процес, який протікає в ідеальному газі (фізичній системі) при постійній теплоємності, називається політропним.

Цей процес характеризується заданим коефіцієнтом  - розподілення теплоти між зміною внутрішньої енергії робочого тіла u та виконаною ним роботою l. Політропний процес є узагальнюючим, оскільки значення показника політропи визначає характер процесу і можна доказати, що всі процеси, які ми розглянули раніше, є лише окремими його випадками.

1. Рівняння політропного процесу.

Для виведення рівняння політропного процесу використаємо рівняння 1-го закону термодинаміки:

в 1-ій формі запису

dq = du + pd;

в 2 -ій формі запису

dq = di - dp.

Відомо, що

du = C_•dT (а)

та

di = C_p•dT. (б)

Виходячи із поняття теплоємності політропного процесу С_п запишемо кількість теплоти політропного процесу:

dq_п = C_п dT. (в) (4.55)

Підставивши формули (а), (б) та (в) в попередні вирази отримаємо наступні рівняння 1-го закону термодинаміки.

В 1-шій формі запису:

dq_п = C_••dT + p•d

та

C_п••dT = C_•dT + p•d;

в 2-гій формі запису:

dq_п = C_p•dT - •dp

та

C_п•dT = C_p•dT - •dp.

Отримані рівняння запишемо у вигляді:

1-ша форма запису:

(C_п - C_)•dT = p•d, (г)

2-га форма запису:

(С_п - С_p)•dT = - •dp. (д)

Поділивши рівняння (д) на рівняння (г) отримаємо значення показника політропи:

(С_п - С_p)/(C_п - C_) = n; (4.56)

- •dp/p•d = n. (4.57)

де n- коефіцієнт політропи.

Перепишемо рівняння (4.57) у вигляді:

- •dp = n•p•d,

або

n•p•d + •dp = 0.

Поділивши останнє рівняння на вираз (p•) отримаємо:

(n•p•d/p•) + (•dp/ p•) = 0,

звідки

(n•d/) + (dp/ p) = 0.

Прологарифмуємо останнє рівняння і отримуємо рівняння політропного процесу:

n•ln + lnp = 0, (4.58)

або

ln(p•ⁿ) = 0. (4.59)

Звідки, рівняння стану політропного процесу, тобто закон взаємозв’язку між термічними параметрами в політропному процесі має вигляд:

p•ⁿ =const. (4.60)

2. Зв'язок між параметрами політропного процесу.

Отже, рівняння стану політропного процесу , тобто закон взаємозв’язку між термічними параметрами в політропному процесі має вигляд, ф.(4.60):

p•ⁿ = const.

Звідки

p₁/p₂ = (₂/_l)ⁿ;

T₂/T₁ = (_/₂)^(n-l);

T₂/T₁ = (p₂/p₁)^{(n- 1)/n} _. (4.61)

Тоді показник політропи можна обчислити за рівняння:

n = ln(p_l/p₂)/ln(₂/_l). (4.62)

Варто зазначити, що рівняння (4.60) справедливе як для ідеального, так і для реального процесів, в той час як рівняння (4.61) та (4.62) справедливі тільки для ідеального процесу.

Таким чином, рівняння (4.60) є узагальнюючим по відношенню до розглянутих нами термодинамічних процесів.

Показник політропи, як і показник адіабати, залежить від теплоємності газу. Являючись для конкретного газу постійною величиною він може змінюватись в широких межах. Тобто

+  > n > - 

2. Теплоємність робочого тіла в політропному процесі.

Запишемо рівняння (4.56)

n = (C_n - C_p)/(C_n - C_) та k = C_p/C_,

або у вигляді

n•(C_n - C_) = C_n - C_p та k•C_ = C_p.

Зробимо відповідну підстановку і отримаємо

n = (C_n - k•C_)/(C_n - C_).

Розділивши це рівняння на (C_) ми отримаємо:

n = (n – k)/(n – 1)

або, так як n = C_n/C_, то

C_n = C_••(n - k)/(n - 1). (4.63)

2. Робота розширення ідеального газу в політропному процесі.

В загальному вигляді роботу розширення робочого тіла (газу) в процесі 1-2 запишемо у вигляді:

l_1-2 = _1^2 p•d.

В цей вираз підставимо рівняння p = p₁•₁ⁿ/ⁿ і отримаємо :

l_1-2 = _1^2 p_l•_lⁿ •d/ⁿ = p_l•_l•1 – (₁/₂)^{(n – 1)}/(n - 1). (4.64)

Зробивши відповідні заміни в цьому рівнянні рівняннями (4.61) ми отримаємо:

l _пол.= R_i•(T₁ - T₂)/(n - 1) = (p₁•₁ -.p_2•₂)/(n - 1) =

= p_l•_l 1 – (p₂/p₁) ^{(n – 1)/n}/(n - 1). (4.65)

5. Теплота політропного процесу.

Теплоту процесу розраховують в загальному за рівнянням:

q_1-2 = _1^2 C•dT.

Для політропного процесу

C_п = C_•(n - k)/(n - 1),

тоді

q_пол = _1 ^₂ C_ (n-k)/(n-1)•d = C_•(₂ - ₁)(n-k)/(n-1). (4.66)

Або

q_2-1= (u₂ - u₁) + l_1-2. (4.67)

6. Зміни внутрішньої енергії, ентальпії та ентропії не залежать від процесу, тому для довільного процесу їх можна обчислити за відомими формулами:

-зміна внутрішньої енергії

du_пол = C_ •dT,

-зміна ентальпії

di_пол = C_p•dT

-зміна ентропії

s₂ - s₁ = C_•ln(T₂/T₁) + R_i ln(₂/₁)

або у вигляді

s₂ - s₁ = C_• ln(T₂/T₁) - R_i• ln(p₂/p₁).

Поряд з останнім рівнянням при дослідженні політропного процесу використовується наступна формула:

s = _1 ^2 C_•(n - k)/(n - 1)•dT/T = C_••(n - k)/(n - 1)•ln(T₂/T₁). (4.68)

6. Частка теплоти, яка тратиться на зміну внутрішньої енергії газу в політропному процесі:

_пол = u/q = C_•/C_••(n - k)/(n - 1) = (n - 1)/(n - 1). (4.69)

8. Частка теплоти, яка витрачається на виконання роботи в політропному процесі:

 = l/q = 1 - _пол = (1 – k)/(k – n). (4.70)

9. Графічне зображення політропного процесу:

З рівняння стану політропного процесу p• ⁿ = const, для різних значень показника політропи отримаємо наступні вирази:

1. n = 0; p•⁰ = p = const - ізобара.

2. n =   ; p•^ = const; p^1/• = const;  = const - ізохора.

3. n = 1; p•¹ = const; T = const - ізотерма.

4. n = k; p•^k = const - адіабата.

Рис. 4.7. Графічне зображення політропного (узагальнюючого) процесу в p- (а) та -s (б) координатах