1.2.5. Модель для вибору дальності стрільби у дуельній ситуації.

У дуелі беруть участь два противники (перший і другий «дуелянти»). У початковий момент вони знаходяться один від одного на віддалі . Після команди починають без зупинок наближатись один до одного, але не ближче, ніж на віддаль. Кожен з противників може зробити один постріл у будь-який момент після початку руху. Дуель закінчується або тоді, коли обидва противники зробили по одному пострілу, або тоді, коли постріл одного був влучним. Нехай− ймовірність влучного пострілу-го дуелянта, якщо він стріляє з віддаліПрипустимо, що кожен дуелянт чує постріл противника. Першого дуелянта вважатимемо оперуючою стороною. Мета операції − влучний постріл (враження противника), критерій повинен набувати значення 1 або 0 у випадку досягнення або недосягнення мети.

Контрольованим фактором у даній операції є віддаль, з якої планує зробити постріл перший «дуелянт» . Неконтрольований невизначений фактор − віддаль, з якої планує зробити постріл другий «дуелянт».

Для розглянемо функції

Тут при фіксованих, можна розглядати як випадкові неконтрольовані фактори з відомими законами розподілу.

Тоді критерій ефективності можна записати у вигляді

Стратегія оперуючої сторони (першого «дуелянта») характеризується константою і функцією. Перший дуелянт планує зробити постріл з віддаліза умови, що до цього моменту не надійде інформація про постріл противника (тобто перший постріл робить перший «дуелянт»). Якщо така інформація надійде (тобто), то перший дуелянт буде стріляти з віддалі. Отже, стратегія оперуючої сторонимає вигляд

Якщо критерій ефективності повинен дорівнювати ймовірності влучного пострілу, тоді

Дуельні ситуації, які характеризуються розривним критерієм ефективності, розповсюджені досить широко і не тільки у військовій справі. Вони з'являються завжди, коли момент вчинення деякої дії має принципове значення. Так, у моделі підвищення надійності використання «холодного» резервування призводить до дуельної ситуації, якщо недопустима більша за деяку величину перерва у роботі. Роль «противника» виконує природа, що «вибирає» моменти виходу з ладу агрегатів.

1.3. Неповністю сформульовані моделі операцій. Об'єднання операцій.

Можна розрізняти два види цілей і відповідних критеріїв ефективності:

I. «Якісні» цілі, які можуть бути тільки досягнені або не досягнені. Всі дії, що приводять до досягнення мети, однаково придатні; так само всі дії, що не приводять до досягнення мети, однаково непридатні.

При цьому критерій ефективності повинен набувати тільки два значення, наприклад, 1 (у випадку успіху) і 0 (у протилежному випадку) або 1 і (якщо потрібно підкреслити повну неприйнятність недосягнення мети).

При «якісній» меті визначення мети передує означенню критерію ефективності.

Простота такого критерію оманлива, оскільки функціональна залежність величини критерію від стратегій і неконтрольованих факторів може бути вельми складною.

II. Кількісне означення мети полягає у прагненні збільшити (або зменшити) значення деякої величини, залежність якої від біжучих характеристик процесу (фазових координат) й утворює критерій ефективності операції. Таким чином, тут формулювання критерію ніби передує означенню мети операції.

В дійсності часто спочатку мета операції формулюється якісно. Проте наявність, наприклад, випадкових факторів робить випадковим і результат операції, тому здійснюється перехід до іншої «більш досяжної» мети операції, яка вже виявляється метою другого типу, утвореною на базі попередньої.

Іноді з'являються оманливі формулювання першого типу, у яких відсутній зв'язок між фазовими координатами і результатом операції. Наприклад, мета – виграш війни – в дійсності не є метою операції, а гаслом, непридатним для дослідження операцій. Відсутність еквівалентної математичної заміни гасла приводить до стану невизначеності або до запровадження критерію другого типу, який не має категоричного характеру. Така ситуація – не провина дослідника, а наслідок нечіткого розуміння своїх цілей оперуючою стороною.

На жаль, у більшості задач, що мають практичне значення, вибір показника ефективності не простий і розв'язується неоднозначно. Наслідком невизначених ситуацій часто є неповністю сформульовані моделі операцій, в яких немає єдиного критерію ефективності у тому розумінні, що вказувалось раніше. Досліджувана операція розпадається на дрібніші операції, кожна з яких має свою мету і, отже, свій критерій ефективності . Таким чином, замість одного критерію ефективності з'являється вектор-функція () контрольованих і неконтрольованих факторів, яка складається зазвичай просто з усіх (або деяких) фазових координат. Очевидно, що кожну координатуабопотрібно збільшувати (чи зменшувати), але залишається неясним, яким саме комбінаціям значень координат вектора варто надавати перевагу, коли немає можливості (а це як правило) збільшувати або зменшувати їх одночасно.

Перехід від неповністю сформульованої моделі до звичайної, коректної, є не що інше, як процес згортання вектор-функції () у звичайну функціюабо. Питання про методи згортання векторного критерію є частиною більш загальної постановки задачі про методи об'єднання операцій у більш широку операцію, або, що те ж саме, про методи розбиття операції на дрібніші.

Об'єднання s операцій полягає в об'єднанні активних засобів, стратегій, неконтрольованих факторів, фазових координат, які описують хід кожної операції, і запровадженні загального єдиного критерію ефективності об'єднаної операції.

Об'єднання активних засобів − це просто додавання відповідних векторів ; для цього шляхом запровадження нульових координат (якщо це потрібно) всі вектори зводяться до одної і тої ж самої розмірності.

Об'єднання неконтрольованих факторів − векторів відбувається ще більш формально

.

Об'єднання стратегій відбувається як утворення з векторів нових векторів

,

де − довільне розбиття сумарних активних засобівза складовими операціями, які не обов'язково мають той самий запас активних засобів, що й до об'єднання. У загальному вигляді стратегію знову можна записати як.

Зрозуміло, що можуть бути й такі випадки, коли розподіл активних засобів при об'єднанні не може мінятись, але це нетиповий випадок свідомого об'єднання.

Можливо також, що при об'єднанні операцій активні засоби не збільшуються у порівнянні з одною операцією; у загальній схемі це рівносильне тому, що для всіх, за винятком одного.

При формуванні єдиного критерію об'єднаної операції можливі дві різні ситуації.

А. Сумарний критерій має вигляд , де- значення критерію дляi-ї складової операції, тобто критерій сумарної операції є функція тільки критеріїв часткових операцій.

В. Сумарний критерій можна подати тільки як функцію фазових координат нової операції (які залежать в свою чергу від контрольованих і неконтрольованих факторів цієї операції), але не зводяться до функції часткових критеріїв.

У другому випадку об'єднана операція не має нічого спільного за своєю метою з частковими операціями, отже, є новою операцією, яка базується на активних засобах часткових операцій. Тому під об'єднанням операцій варто розуміти лише перший випадок. Звичайно, можна розглядати формально і об'єднання нескінченної кількості операцій.

Існує ряд елементарних способів об'єднання (згортання) критеріїв, тобто функцій , які найчастіше фігурують у практиці дослідження операцій. Опишемо деякі з них.

І. Сумування або «економічний» спосіб згортання полягає у тому, що метою об'єднаної операції є максимізація сумарного критерію вигляду

(1.22)

Додатність , взагалі кажучи, не передбачається, хоча найчастішеневід'ємні разом з.

За таким принципом, наприклад, утворено критерії у моделях 1.2.1, 1.2.3. Так, у моделі 1.2.1 , а під частковими операціями треба розуміти виробництво продукції окремими технологічними процесами. У моделі 1.2.3 , частковими операціями є призначення засобів нападу на окремих пунктах розташування засобів захисту.

Інтегральний еквівалент

(1.23)

можна одержати при згортанні критеріїв, які залежать від неперервного параметра (тобто при об'єднанні нескінченної кількості операцій).

Даний метод застосовується при осередненні критеріїв ефективності, які залежать від випадкових параметрів; тоді

і .

Якщо у (1.22) одна з операцій виконується завжди, а це можна характеризувати, наприклад, критерієм , то, позначаючи, одержимо

.

Розглянутий спосіб об'єднання приводить до мети другого (кількісного) типу, навіть якщо . При об'єднанні критеріїв першого типу за цим способом для деяких складових операцій може бути висунуто вимогу обов'язкового досягнення своїх часткових цілей, тобто досягнення 1. Тоді для цих операцій необхідно покласти і.

ІІ. Спосіб переходу до мети першого типу шляхом розбиття векторів на задовільні і незадовільні. Задовільними вважаються тільки вектори , для яких

. (1.24)

При цьому критерій об'єднаної операції має вигляд

(1.25)

Цей варіант може застосовуватись навіть при s=1 і означає тоді заміну мети − збільшення W на мету − досягнення нерівності .

Зазвичай важко навести переконливі аргументи на користь того чи іншого вибору вектора , тому при застосуванні такого способу об'єднання особливо підкреслюється необхідність використання принципу свободи вибору критерію оперуючою стороною.

ІІІ. Спосіб послідовного досягнення часткових цілей Врахування виконання наступної операції починається лише тоді, коли досягнуті абсолютні максимуми критеріїв

ефективності попередніх часткових операцій. Якщо , то результат об'єднаної операції можна прийняти рівним сумі досягнутих результатів врахованих операцій. Формально цей процес об'єднання (при) можна записати так:

, (1.26)

якщо

Типовим є використання такого об'єднання для випадків, коли всі частинні операції, крім, можливо, останньої, мають мету першого типу, тоді

Приклад 1.2. Нехай ,,

, ,

, .

Якщо оперуючи сторона прагне послідовного досягнення часткових цілей, то узагальнений критерій має вигляд

.

Зазвичай практична реалізація такого способу об'єднання проводиться, якщо є впевненість у отриманні інформації (для своєчасного перемикання на наступну частинну операцію) про досягнення абсолютного максимум критерію попередньої операції, хоча таке об'єднання можна формально визначити і при відсутності такої інформації. Економічні операції та військові дії можуть вдало описуватись цим способом об’єднання частинних операцій. (Наприклад, організація поступового знищення сил нападу або захоплення опорних пунктів).

ІV. Логічне об'єднання цілей. Нехай критерії частинних операцій є критерії першого типу і набувають тільки значень 0 і 1. Тоді часто використовуються такі елементарні дії над цілями (критеріями):

а) метою, протилежною даній меті, називається прагнення невиконання i-ї мети; для критеріїв

(1.27)

б) сумарна мета полягяє у виконанні всіх часткових цілей (кон'юнкція)

(1.28)

в) сумарна мета полягяє у виконанні хоча б одної з часткових цілей (диз'юнкція)

(1.29)

Ці дії, як відомо, утворюють повну систему бульових операцій. Це означає, що будь-яку залежність , деінабувають лише значень 0 і 1, можна подати у вигляді скінченної послідовності дій типу а), б) і в). Отже, можна повністю описати всі можливі залежності сумарного критерію від часткових критеріїв, якщо і часткові критерії, і сумарний критерій є критеріями першого (якісного) типу.

V. Узагальнене логічне згортання критеріїв.У тому випадку, коли критерії часткових операцій і /або критерій сумарної операції є критеріями другого (кількісного) типу дії попереднього пункту можна узагальнити таким чином:

замість (1.27)

(1.30)

замість (1.28)

; (1.31)

замість (1.29)

. (1.32)

Ці способи об'єднання можна застосувати для критеріїв будь-якого типу.

VI. Випадкове і невизначене згортання. Сумарним критерієм оголошується той або інший частковий критерій в залежності від того, якого значення набуває неконтрольований фактор, тобто

.

У загальному випадку частинні критерії можуть визначатись неперервною випадковою або невизначеною величиною:

(1.33)

Цей випадок є одним із шляхів проникнення випадкових і невизначених факторів у дослідження операцій і відтворює невпевненість оперуючої сторони при виборі критерію ефективності операції.

Зокрема, якщо оперуюча сторона не може точно визначити ваговий коефіцієнт частинних операцій у способах об'єднання І іV, то ці і будуть тими невизначеними факторами, про які йде мова. Невпевненість оперуючої сторони при виборі критерію збільшує кількість випадкових або невизначених факторів, які не контролюються оперуючою стороною, що ускладнює вибір стратегій і зменшує їх ефективність.

При такому способі об'єднання критерії стають ніби мають рівну вагу; однаково, збільшувати чи , якщо збільшення однакове. Якщо і у цьому немає впевненості, то потрібно одночасно запроваджувати невизначені вагові коефіцієнти частинних критеріїв, тобто замість (1.33) писати

(1.34)

Описані методи об'єднання критеріїв можна застосувати і у випадку неповністю сформульованої операції. Тут у ролі часткових критеріїв повинні виступати .