2.3. Порівняння ефективності стратегій

Основний сенс оцінки ефективності стратегій полягає в тому, щоб на її основі можна було порівняти цінність двох стратегій . Таке порівняння може бути проведено на двох рівнях.

І. Якщо при всіх, то можна сказати, що перша стратегія абсолютно краща, ніж друга. Абсолютно гіршу стратегію можна відкинути і надалі не брати до уваги. Така абсолютна перевага одної стратегії над іншою нетипова, але все ж таки зустрічається на практиці. Так, наприклад, поагрегатне дублювання є абсолютно не гірше, ніж дублювання системи в цілому. При наявності точної і своєчасної інформації про момент виходу агрегату з ладу холодне резервування абсолютно краще, ніж паралельне з'єднання.

Якщо дослідник операції впевнений у тому, що оперуюча сторона має достатньо інформації про неконтрольований фактор , тоді він може сконструювати третю стратегію, яка буде абсолютно не гіршою, ніж дві задані стратегії. Для цього достатньо означити стратегіюу такий спосіб:

ІІ. У ряді випадків повна інформація про неконтрольований фактор відсутня, а також немає підстав очікувати абсолютної переваги одної стратегії над іншою. Тому типовим варто вважати порівняння ефективності за результатами їх оцінки на основі принципу гарантованого результату. Отже, стратегіюможна вважати кращою, ніж, якщо

. (2.31)

Таке порівняння ефективності стратегій можливе завжди; при цьому не вимагається і наявності достатньо повної інформованості оперуючої сторони про неконтрольований фактор .

Приклад 2.7. Порівняти ефективність стратегій , і з прикладу 1.1.

Р о з в ' я з а н н я. Оскільки

, ,

, ,

, ,

то стратегія абсолютно не гірша, ніж стратегія; стратегіяабсолютно не краща, а стратегіяабсолютно гірша, ніж стратегія. Стратегіякраща за стратегії,. Тому стратегії,надалі можна не брати до уваги.

На відміну від оцінки ефективності одної стратегії порівняння ефективності стратегій допускає, не змінюючи результату порівняння, виконання певних операцій над критерієм ефективності.

Так, наприклад, результат порівняння не зміниться, від додавання до критерію будь-якої сталої або від множення його на додатну сталу.

Теорема 2.4. Результат порівняння ефективності стратегій залишається незмінним при будь-якому монотонному перетворенні критерію , тобто якщо− монотонно зростаюча функція, то з нерівності (2.31) випливає нерівність

і навпаки. Зберігається також абсолютна перевага.

Д о в е д е н н я . Нехай і . Тоді існує таке значення, що для довільних

.

Звідси випливає

.

Обернене твердження буде наслідком монотонності оберненої функції . Якщо послабити вимогу до, залишивши її тільки неспадною, то зберігається тільки така властивість: перша стратегія не гірша за другу при переході до.

Ця теорема може бути корисною, даючи змогу іноді зробити критерій ефективності дещо зручнішим для відшукання мінімуму. Так, наприклад, критерій можна замінити на диференційовний критерій.

Ця властивість не зберігається, якщо замість операції мінімізації взяти елементарну дію І згортання векторного критерію; тому осереднення за формулою (2.10) монотонно перетвореного критерію не рівноцінне такому монотонному перетворенню осередненого згідно (2.10) критерію. Так, .

Так само і мінімум не перестановочний щодо додавання; саме тому осереднення критерію згідно з (2.10) змінює, взагалі кажучи, результати порівняння ефективності (порівняння за оцінками (2.1) не еквівалентне до порівняння за оцінками (2.11) ).

Приклад 2.8. Нехай противник може проникнути на територію оперуючої сторони у пунктах А і В, причому всі його сили будуть зосереджені у одному пункті. Відомо, що ймовірність зосередження сил противника у пункті А дорівнює 0,75, а у пункті В − 0,25. Оперуюча сторона має одиниць протидії проникненню противника, кожна з яких може вивести з ладуодиниць сил противника. Мета оперуючої сторони − вивести з ладу якомого більше сил противника. Порівняти ефективність двох стратегій, перша з яких полягає у розподілі сил протидії порівну між пунктами А і В, а друга − у зосередженні всіх сил протидії у пункті А.

Р о з в ' я з а н н я. Контрольований фактор − невід'ємні цілі числа.

Неконтрольований фактор − невід'ємні цілі числа, причому. Критерій ефективності −.

Порівняємо ефективність стратегій .

Маємо ,(найгіршим випадком для оперуючої сторони є зосередження сил противника у пункті В, де відсутні сили оперуючої сторони).

Якщо вважати неконтрольований фактор випадковим з відомим законом розподілу та допустити осереднення за випадковостями, то

, .

Отже, при відсутності осереднення за випадковостями вигіднішою є перша стратегія, а при осередненні − друга.

Враховуючи вищесказане, іноді доцільно говорити про перевагу одної стратегії над іншою в середньому, так само можна говорити про абсолютну перевагу в середньому. Але якщо рішення про заміну деякого критерію на осереднений прийнято, тоді на терміні «в середньому» можна не наголошувати.

Насамкінець відзначимо, що і оцінка згідно з (2.1), і оцінка згідно з (2.11) є дії згортання критерію ефективності за невизначеними і випадковими факторами у відповідності з елементарними діями типу V і I.