4. Прийняття рішень в умовах невизначеності.

При прийнятті рішень в умовах, коли обстановка проведення операції характеризується відсутністю розумного противника, оперуюча сторона може відходити від гарантованих оцінок. У випадку, коли у ролі «противника» виступає «природа», немає підстав припускати, що вона намагається діяти на шкоду оперуючій стороні.

Розглянемо деякі критерії прийняття рішень в умовах невизначеності. При цьому вважається, що ніякі ймовірнісні характеристики неконтрольованих факторів не відомі.

Надалі вважатимемо, що кількість стратегій оперуючої сторони і кількість «стратегій природи» (станів системи) скінченні, тобто ,, критерій ефективності можна записати у вигляді матриці

.

Стратегії оперуючої сторони, які є абсолютно гіршими за інші стратегії, відкидаються. Найпростішим буде випадок, коли після цього залишаться лише абсолютно оптимальні стратегії. Якщо ж абсолютно оптимальні стратегії відсутні, то після відкидання всіх неконкурентоспроможних стратегій (абсолютно гірших) залишаються тільки так звані ефективні («паретовські») стратегії, кожна з яких не має абсолютної переваги над іншими.

4.1. Критерій Лапласа.

Цей критерій спирається на принцип недостатньої обґрунтованості. Оскільки ймовірності станів невідомі, то немає підстав для висновку, що ці ймовірності різні. Згідно з принципом недостатньої обґрунтованості ці ймовірності однакові. Найкращою стратегією вважається стратегія, яка вибирається з умови

,

−ймовірність реалізації стану .

4.2. Максимінний критерій Вальда.

Цей критерій виражає позицію «крайнього песимізму». Природа ототожнюється з розумним противником, який намагається завадити оперуючій стороні у досягненні її мети. Оптимальною вважається стратегія, яка забезпечує найбільший гарантований результат:

.

4.3. Критерій Севіджа.

Критерій Вальда є настільки песимістичним, що іноді може приводити до нелогічних висновків. Нехай критерій відображає втрати оперуючої сторони у деякій операції і має вигляд

Застосування критерію Вальда приводить до висновку про оптимальність другої стратегії оперуючої сторони. Але інтуїтивно є бажання вибрати першу стратегію, оскільки можливим залишається другий стан природи, при якому втрати становлять лише 90 одиниць, у той час, як застосування другої стратегії завжди приводить до втрат у 10000 одиниць.

Критерій Севіджа «виправляє» цей недолік, розглядаючи нову матрицю, елементи якої обчислюються як різниця між результатом, що забезпечується даною стратегією при заданому стані природи і найкращим можливим результатом у тих самих умовах:

.

По суті, виражає «жаль» особи, яка приймає рішення, з приводу того, що не вибрано найкращу дію в умовах . Застосування принципу гарантованого результату при аналізі матриці дає наступне правило для визначення оптимальної стратегії:

.

Повертаючись до наведеного вище прикладу, одержимо:

,

,

і оптимальною вважатимемо першу стратегію.

4.4. Критерій Гурвіца.

Цей критерій охоплює низку різних підходів до прийняття рішень: від найбільш оптимістичного до найбільш песимістичного. При оптимістичному підході можна сподіватись на значення виграшу , а при песимістичному −. Критерій Гурвіца встановлює баланс між випадками крайнього оптимізму і крайнього песимізму, приписуючи їм вагові коефіцієнтиі, де(вважається, що середовище може знаходитись у найвигіднішому для оперуючої сторони стані з ймовірністюі самому невигідному з ймовірністю). Оптимальною вважається стратегія, яка забезпечує виграш

тобто

Параметр є показником оптимізму: при критерій занадто оптимістичний, придуже песимістичний. Вибір значеннязалежить від схильності особи, яка приймає рішення, до оптимізму або песимізму. При відсутності яскраво вираженої схильності можна вибрати.

Розглянемо використання даних критеріїв в умовах невизначеності у наступній практичній ситуації.

Приклад. Морське пароплавство планує організацію пасажирських перевезень на літні місяці. Кількість суден , які повинні бути зафрахтовані, їх тоннаж, а також кількість екіпажів, які повинні бути набрані і підготовлені до чергової весняно-літньої навігації, є змінною величиною і визначається фактичними потребами у пасажиро- перевезеннях чергового сезону. Припустимо, що вона може набувати значень 10, 20, 30, 40 і 50 суден. Фактична потреба у пасажироперевезеннях є випадковою величиною, яка залежить від багатьох факторів. Припустимо, що пароплавство склало кошторис експлуатаційних витрат і визначило величину очікуваного прибутку від виконання перевезень в залежності від кількості зафрахтованих судені фактичних потреб у суднах для повного задоволення потреб пасажирів. Розрахункові значення очікуваного прибутку і для всіх можливих значеньтанаведені у таблиці

	10	20	30	40	50
10	60	60	60	60	60
20	10	110	110	110	110
30	– 48	30	160	160	160
40	– 100	– 50	200	240	240
50	– 150	– 100	50	200	340

Потрібно визначити оптимальну кількість зафрахтованих суден, щоб максимізувати очікуваний прибуток. Розрахуємо цю величину, використовуючи наведені вище критерії.

Критерій Вальда: ,.

Критерій Лапласа: ,.

Критерій Севіджа: будуємо матрицю , а результати заносимо у наступну таблицю

	10	20	30	40	50
10	0	–50	–140	–180	–280
20	–50	0	–90	–130	–230
30	– 108	–80	–40	–80	–80
40	– 160	– 160	0	0	–100
50	– 210	– 210	–150	–40	0

Обчислюємо , звідки.

Критерій Гурвіца: обчислюємо значення

при різних значеннях .

:;

: ;

: ;

: ;

: ;

: ;

: .

Таким чином потрібно зробити вибір з таких можливостей:

А) за критерієм Вальда зафрахтувати 10 суден;

Б) за критерієм Лапласа зафрахтувати 40 суден;

В) за критерієм Севіджа зафрахтувати 30 суден;

Г) за критерієм Гурвіца зафрахтувати 10 суден, якщо керівництво порту складається з песимістів і 50 суден, якщо керівництво порту складається з оптимістів.

Якому рішенню надати перевагу? Це визначається вибором відповідного критерію в умовах невизначеності (Вальда, Лапласа, Гурвіца чи Севіджа).

Вибір критерію прийняття рішень є найскладнішим і найвідповідальнішим етапом у дослідженні операцій. При цьому не існує будь-яких загальних рекомендацій чи порад. Вибір критерію повинен робити замовник операційного дослідження на найвищому рівні ієрархії і максимально узгоджувати цей вибір з конкретною специфікою задачі та із своєю метою.

Зокрема, якщо приймається дуже відповідальне рішення, і навіть мінімальний ризик неприпустимий, то варто застосовувати критерій Вальда (принцип гарантованого результату). Навпаки, якщо деякий ризик прийнятний, і керівництво (замовник) має намір вкласти у плановану операцію певну суму (таку, щоб потім не вважати, що вкладено занадто мало), то вибирають критерій Севіджа.

При відсутності достатньої інформації для вибору критерію можливим є й альтернативний підхід, який пов'язаний з обчисленням ймовірностей успіху і невдачі на основі попереднього досвіду.

1Тут знову відсутня вказівка про проміжну залежність від фазових координаті фазових координат від контрольованих і неконтрольованих факторів.

1Функцію завжди може бути довизначена до для незалежних .Для цього достатньо, наприклад, покласти якщо хоча б для одноговекторне є вектор .Вектор , очевидно, тоді і тільки тоді, коли є вектор для деякого , коли.

1 Аналогічно перевіряється опуклість функції вигляду , якщо всіопуклі. Так самовгнута, якщо вгнуті всі

57