2. Оцінка ефективності стратегій (рішень).

2.1. Оцінка ефективності за наявності неконтрольованих факторів.

Ефективністю стратегії називається значення критерію ефективностідля даної стратегії.

Якщо неконтрольовані фактори зводяться до фіксованих неконтрольованих факторів , то ефективністю стратегіїбуде число, яке може бути обчислено дослідником операції. Саме це обчислення зазвичай і називається знаходженням ефективності. Цей результат гарантується наявністю інформації про.

У загальному випадку ефективність стратегії є, взагалі кажучи, функцією невідомих досліднику операції неконтрольованих факторів. У цих умовах дані про ефективність стратегії, які може дати (прогнозувати) дослідник, − це дані про поведінку функції .

Але таке уявлення про ефективність стратегії зазвичай незручне для оперуючої сторони, для якої важливо знати, задовільна дана стратегія, чи ні. Особливо це видно для операцій з критеріями першого типу, якщо у залежності від можливих значень неконтрольованих факторів ефективність набуває обох можливих значень.

Тому бажано характеризувати ефективність стратегії одним числом. Якщо характеристику повинен дати дослідник, то така характеристика повинна базуватись на принципі гарантованого результату.

Якщо про неконтрольовані фактори нічого не відомо, крім області їх значень, то єдиною такою оцінкою ефективності буде

, (2.1)

тобто, єдиним способом згортання критерію, який залежить від невизначеного фактора, який може дозволити собі дослідник операції, є спосіб (1.31) (частковий випадок V способу об’єднання).

Не варто думати, що така оцінка є «перестраховочною», потрібно лише при визначенні множини врахувати всю інформацію дослідника про неконтрольовані фактори.

Дійсно, якщо вектор неконтрольованих факторів є результатом дій активного противника, то векторбуде вибиратись противником у відповідності з його метою. Якщо мета противника протилежна до мети оперуючої сторони, то він буде намагатись зменшити величину критерію, а якщо йому відома ще й стратегія, то він, звичайно, виберетаким, щоб реалізувати (2.1) або підійти досить близько до цієї величини. Тому оцінка (2.1) є точною, якщовибирається противником, що має інформацію про стратегію оперуючої сторони і мету, протилежну до мети оперуючої сторони.

Нехай тепер противник має непротилежну мету, яку можна виразити у вигляді його власного критерію ефективності

. (2.2)

Якщо досліднику відомий цей критерій ефективності, то дослідник, уточнюючи вигляд множини , може покращити оцінку (2.1), залишаючись на позиціях гарантованого результату.

Так, якщо досліднику відомо, що противник знає стратегію , то він може виходити з того, що противник намагатиметься максимізувати функцію

,

тобто вибере так, щоб

, (2.3)

якщо цей максимум для нього досяжний.

Нехай − множина всіх можливих, для яких виконується умова (2.3). При цьому за оцінку ефективностідослідник операції повинен вважати

(2.4)

Мінімум тут береться за всіма можливими значеннями , оскільки досліднику невідомі мотиви вибору одногоз усіх, що реалізують максимум (2.3).

Застосування принципу гарантованого результату за цією невизначеністю і означає знаходження мінімуму за всіма . Отже, у даному випадку у (58)потрібно замінити на.

Приклад 2.1. Нехай ,

.

Знайти оцінку ефективності стратегії у таких випадках:

а) − невизначений фактор, а досліджувана стратегія може бути реалізована;

в) − стратегія противника, який знає стратегію оперуючої сторони; мету противника задано матрицею

.

Р о з в ' я з а н н я.

а) значення критерію ефективності для даної стратегії задається вектором

,

тому ;

в) значення критерію ефективності противника для даної стратегії задається вектором

,

тому противнику доцільно вибирати свою стратегію з множини , а ефективність стратегіїдорівнює.

Приклад 2.2. Нехай ,. Знайти оцінку ефективності стратегії, якщо

а) − невизначений фактор, відома тільки область його значень;

в) − стратегія противника, який знає стратегію оперуючої сторони; мету противника задано функцією.

Р о з в ' я з а н н я.

а) значення критерію ефективності для даної стратегії задається функцією

.

За формулою (2.1) маємо ;

в) значення критерію противника набуває такого вигляду . Максимум цього критеріюдосягається приіТому.

Але оцінка (2.4) буде гарантованою оцінкою тільки у тому випадку, якщо гарантовано (точно відомо досліднику або, можливо, з ризиком прийнято оперуючою стороною), що критерій ефективності противника виражається формулою (2.2), що противнику відома стратегія і що йому нічого не заважає досягти максимуму (2.3).

Якщо хоча б одна з цих умов не виконується, то дослідник операції не має права користуватись оцінкою (2.4); це, взагалі кажучи, може спричинити помилки.

Нехай, наприклад, критерій (2.2) відомий неточно, а інші умови виконані; такий випадок можна виразити у вигляді

, (2.5)

де − невизначений фактор, .

Тоді противник намагатиметься одержати

де .

Гарантована оцінка ефективності при цьому має вигляд

(2.6)

Якщо містить або близько підходить до значення , яке реалізує (2.1) , то, враховуючи (2.5)-(2.6), дослідник не одержить нічого нового у порівнянні з оцінкою (2.1).

Суттєвим є також і припущення про інформованість противника щодо стратегії .

Розглянемо, наприклад, випадок, коли

, (2.7)

тобто коли «противник» має ту ж саму мету, що й оперуючи сторона; тоді обидва намагаються досягнути . Нехай цей максимум досягається у декількох точках, що утворюють множину, і нехай стратегія оперуючої сторонине залежить від; нехай, крім того, «противник» не знає цієї стратегії. Тоді вибір противника незрозумілий, і у кращому випадку можна гарантувати ефективність стратегіїу вигляді величини

. (2.8)

Ця величина може бути досить далекою від бажаного і навіть збігатись з оцінкою (2.1).

Приклад 2.3. Нехай контрольований фактор і неконтрольований фактор− це точки з проміжку, а критерій ефективності оперуючої сторони і «противника» має вигляд, тобто обидва учасники намагаються наблизитись один до одного, але не призначили точку зустрічі (кожен з учасників не знає, куди піде інший). Тоді, очевидно, дляза формулою (2.1) одержимо -1. Теж саме значення одержимо, застосовуючи формулу (2.8).

Отже, мало просто прагнути спільної мети, потрібно ще й обмінюватись інформацією про свої дії (стратегії), інакше спільність цілей може дати ті ж самі результати, що й їх протилежність.

Якщо немає впевненості у достатній інформованості дослідника щодо вигляду критерію противника і у інформованості противника щодо стратегії оперуючої сторони, то потрібні додаткові дослідження або необхідно орієнтуватись на оцінку вигляду (2.1), враховуючи всю відому інформацію про неконтрольовані фактори. Тому у військових операціях або в умовах конкурентної економіки типовою (хоча, звичайно, не єдино можливою) повинна бути оцінка (2.1).

Це положення зберігає своє значення і для «природних» невизначеностей (у тому числі, і для невизначеностей третього типу), коли поведінку невизначеного фактора можна трактувати як дію противника з невизначеною метою, а, отже, і не поінформованого.

Сказане можна виразити і у такій формі: якщо мета противника (у тому числі «природи») невідома або немає упевненості про його інформованість щодо стратегії оперуючої сторони, то доцільно прийняти випадок протилежності мети такого противника, що є звичайно, найгіршим випадком.

Залишається зрозуміти, що дає впевненість про відсутність інформації у противника щодо стратегії оперуючої сторони. Все залежить від того, наскільки точно відома мета противника. Якщо невідома, то вибір противником значення з усієї множини залишається невизначним, тому варто користуватись оцінкою (2.1).

Таким чином, знову підтверджується доцільність оцінки (2.1) для природних невизначеностей, які не можуть бути охарактеризовані певною метою. Якщо ж мета противника відома, і він діє розумно, то при відсутності у нього інформації про він може вибратиз таких міркувань:

1) він вважає, що яким би не було значення , оперуючи сторона виберетак, щоб;

2) тоді буде вибиратись з умови.

Тоді, якщо є множина таких, оцінка ефективності стратегіїбуде

.

Відзначаючи принципову можливість такого випадку, можна все ж таки базуватись на типовому випадку (2.1), який не спирається на сумнівні гіпотези про інформованість і поведінку противника.

Ще раз підкреслимо, що формально (2.1) охоплює всі розглянуті випадки, якщо брати нижню межу не за всіма апріорі можливими значеннями , а тільки за тими з них, які відповідають даним оперуючої сторони (дослідника) щодо мети, розумності та інформованості противника.

Таким чином, ці різні випадки можна трактувати як способи обмеження множини можливих стратегій противника (множини значень невизначених факторів) на основі даних дослідника щодо мети, розумності та інформованості противника. Сказане вичерпує випадок, коли противник один, і відсутні випадкові неконтрольовані фактори.

У інших випадках іноді оцінка ефективності може бути покращена.

Коли противників багато, кожен з них має свою мету, обмін інформацією відсутній, а коаліції не укладаються, то, як показують дослідження Неша з теорії безкоаліційних ігор, можна дійсно чекати покращення результатів, але ці результати зазвичай нестійкі, і не можуть бути віднесені до категорії гарантованих. Разом з тим необхідно відзначити, що у випадку, коли немає впевненості щодо інформованості про цілі багаточисельних противників або вони можуть укладати коаліції, то найгіршим випадком для оперуючої сторони буде коаліція всіх противників, тобто по суті один противник.

Відзначимо також, що оперуюча сторона в цілому може не притримуватись принципу гарантованого результату при згортанні функції ефективності у одне число. Але це буде по суті запровадження нового критерію ефективності, який утворено з старого шляхом використання способів згортання критеріїв, описаних раніше; у результаті такого згортання значення нового критерію може стати незалежним від невизначених факторів.