Кільця та поля

Нехай К – непорожня множина, на якій задані дві бінарні алгебраїчні операції + (додавання) і ∙ (множення), які задовольняють наступним умовам:

(K1) (K, +) – абелева група;

(К2) (K, ∙) – півгрупа;

(К3) операція множення дистрибутивна відносно операції додавання:

(x + y)z = x z + y z,z (x + y) = z x + z y

для всіх x, y, z  K.

Тоді (K, +, ∙) називається кільцем.

Структура (K, +) називається адитивною групою кільця, а (K, ∙) - його мультиплікативною півгрупою.

Якщо (K, ·) – моноїд, то кажуть, що (K, +) – кільце з одиницею. Кільце називається комутативним, якщо (K, ∙) – абелева півгрупа (на відміну від груп, комутативне кільце не прийнято називати абелевим). Нейтральний елемент 0 – відносно додавання і 1 – відносно множення (якщо він існує) називають відповідно нулем і одиницею кільця.

Далі наведено приклади кілець:

1) множина (Z, +, ∙) цілих чисел відносно звичайних операцій додавання й множення;

2) множина (Q, +, ∙) раціональних чисел відносно звичайних операцій додавання й множення;

3) множина (R, +, ∙) дійсних чисел відносно звичайних операцій додавання й множення;

4) множина (C, +, ∙) комплексних чисел відносно звичайних операцій додавання й множення;

5) множина дійснозначних матрицьМ_n(R)розміруnxnвідносно додавання та множення матриць є кільцем з одиницею. Роль нейтрального елемента відносно множення тут відіграє одинична матрицяЕ. Таке кільце називається повним матричним кільцем надR або кільцем квадратних матриць порядкуn надR. Це один з найважливіших прикладів кілець. Оскільки приn> 1, матриці при множенні, як правило не можна переставляти, тоМ_n(R) – некомутативне кільце.

Підмножина LкільцяКназивається підкільцем, якщо для будь-яких елементівx, yL

x+yL ix∙yL.

Підкільце LкільцяКз одиницею називається ідеалом, коли для будь-яких елементівxLтаaKвиконуєтьсяa∙xL, x∙aL.

Нехай К - кільце з одиницею, аL – ідеал у цьому кільці. Фактор-групуК / Lадитивної групи (K,+) кільця за ідеаломL(який є нормальним дільником в адитивній групі) можна перетворити в кільце, наступним чином задаючи операцію множення суміжних класів:(x+L) (y+L)=x∙y+L. Це кільце називається фактор-кільцем кільцяКза ідеаломL і позначаєтьсяК / L.

Нижче наведено приклад фактор-кільця, який широко використовується. Множина nZцілих чисел, кратних деякому фіксованому натуральному числуn, є ідеалом в кільці цілих чиселZ. Розглянуту раніше фактор-групуZ / nZ=Z_n можна перетворити в кільце задаючи операцію множеннякласів за модулем числаn. Щоб перемножити два класиіпотрібно спочатку перемножити цілі числаrіs, а потім знайти остачу від ділення знайденого добутку на числоn. Клас знайденої остачі й буде результатом множення класіві. МножинаZ_n разом із заданими на ній операціями додаваннята множенняє комутативним кільцем з одиницею, яке маєn елементів.

Далі наведено таблицю Келі для операції множення кільцяZ₅:



Відображення f:К₁К₂кільця(К₁, +, ∙) в кільце(К₂, ,)називається гомоморфізмом, якщо воно зберігає всі операції, тобто коли для будь-яких елементівx, yК₁

f(x+y) =f(x)f(y),

f(x∙y) =f(x)f(y).

Якщо гомоморфізм кілець є бієктивним відображенням, то він називається ізоморфізмом кілець. Два кільця К₁iК₂називаються ізоморфними, якщо існує ізоморфізм кільцяК₁в кільцеК₂; факт ізоморфізму кілець коротко записують у виглядіК₁  К₂.

Поле Р– це комутативне кільце з одиницею, в якому кожен відмінний від нуля елемент має обернений відносно операції множення. Іншими словами комутативне кільце з одиницеюРє полем, коли сукупність його відмінних від нуля елементів утворює абелеву групу відносно операції множення.

Два поля Р₁iР₂називаються ізоморфними, якщо вони ізоморфні як кільця.

Поле, яке має скінченне число елементів, називається скінченним полем або полем Галуа.

Теорема. Будь-яке скінченне поле маєрⁿелементів, дер– просте, аn– натуральне число. Для фіксованих простого числарі натурального числаn існує і, з точністю до ізоморфізму, лише одне поле з числом елементіврⁿ.

Скінченні поля з точністю до ізоморфізму будуються наступним чином.

Скінченне поле з релементів ізоморфне кільцюZ_p цілих чисел за модулемр.

Скінченне поле з рⁿелементів отримується таким чином. Розглядаємо кільце многочленів Z_p[x]від змінноїхнад полемZ_p. Беремо в цьому кільці многочленf(x) степеняn, який є нерозкладним надZ_p. Позначаємо через(f(x))ідеал, який складається з елементів, що діляться наf(x). Тоді фактор-кільцеZ_p[x]/(f(x))є бажаним полем зрⁿелементів. Виконання операцій над елементами цього поля здійснюється за двома модулями: за модулем числарі за модулем многочленаf(x).Часто це позначається наступним чином:(mod f(x), p).