Свойства линейной функции

1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R

2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R

3. Функция принимает нулевое значение при или.

4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.

5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .

2. Квадратичная функция.

Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.

Коэффициенты а, b, с определяют расположение графика на координатной плоскости

Коэффициент а определяет направление ветвей. График квадратичной функции - парабола. Координаты вершины параболы находятся по формулам:

Свойства функции:

1. D(у)=R.

2. Множество значений одного из промежутков: или.

3. Функция принимает нулевые значения при , где дискриминант вычисляется по формуле:.

4. Функция непрерывна на всей области определения и производная функции равна .

3. Показательная функция.

Функция вида , гденазываетсяпоказательнойфункцией.

Коэффициент а - положительное число, указывает на возрастание или убывание функции.

Свойства функции:

1. Д(у)=R.

2. Е(у)= .

3. Функция возрастает (а>1), убывает (а<1) на всей области определения.

4. График функции пересекает ось ординат в точке (0;1).

5. Функция непрерывна на всей области определения, дифференцируема и производная равна .

4. Логарифмическая функция

Логарифмической функциейназывается функция вида

Число а определяет расположение графика.

Вместо логарифмической функции с произвольным основанием удобно рассматривать функцию вида .

Так как , то указанные функции исчерпывают все логарифмические функции.

Свойства функции у=ln x.

1. Д(у)=.

2. Е(у)=R.

3. Функция принимает нулевое значение при х=1.

4. Функция возрастает на всей области определения.

5. Функция является непрерывной на всей области определения, дифференцируема и .

5. Экспоненциальная функция

Функция, обратная функции называетсяэкспоненциальной изаписывается уравнением .

График функции симметричен графику функции (см. рис.22) относительно прямой у=х.

Свойства функции: (смотри свойства показательной функции).

6. Степенная функция

Степенной функциейс действительным показателем называется функция вида , где b-действительное число, х>0.

Примеры степенных функций: .

Коэффициент b определяет положение графика на координатной плоскости.

Свойства функции.

1. Функция определена для х>0.

2. Е(у)=.

3. Функция возрастающая, если b>0 и убывающая, если b<0.

4. Функция непрерывна на всей области определения, дифференцируемая и .

Классификация функций.

Функция называется явной, если она задана формулой , неявной – если она задана уравнением.

Графиком уравнения называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Простейшими элементарными (основными) функциями называются: постоянная функция, степенная функция, показательная функция, логарифмическая функция, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции.

Пусть функция есть функция от переменнойu, определенной на множестве U c областью значений Y. Переменная u в свою очередь является функцией от переменнойx, определенной на множестве X c областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция называетсясложной функцией (суперпозицией функций).

Функции, которые можно получить при помощи конечного числа алгебраических операций над простейшими элементарными функциями, а также конечного числа их суперпозиций, образуют класс элементарных функций.

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).В том случае, когда функция задана аналитически, область определения задана вместе с функцией.Если функция имеет определенный прикладной характер, область ее определения определяется реальными значениями входящих параметров