Модуль 2. Элементы аналитической геометрии.

Теоретические занятия (лекции) – 4 часа.

Лекция 4. (Информационная лекция с использованием средств мультимедиа).

Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой.

Понятие и основные свойства вектора. Операции над векторами. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. Условие коллинеарности и перпендикулярности векторов.

Системы координат. Простейшие задачи. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

Векторы на плоскости и в пространстве

Обобщим некоторые сведения о векторах, известные со школьного курса математики.

Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В. Обозначается вектор одной буквойилиВекторы характеризуются длинойи направлением. Длиной вектораназывается число, равное длине отрезка АВ.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными .

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называют нулевым и обозначают . Так как направление нулевого вектора произвольно, то считают, что он коллинеарен любому вектору.

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными.

Два вектора считаются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине.

Произведением вектора на действительное числоназывается вектор, имеющий длину, направление которого совпадает с направлением вектора, еслии противоположно ему, если.

Вектором, противоположным вектору , называется вектор

Пусть даны два вектора. Параллельным переносом приведем их к общему началу. Наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения с другим, называется углом между векторами.

Суммой двух векторов иназывается вектор, направленный из начала векторав конец векторапри условии, что началосовпадет с концом вектора.

Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника: чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.

Разностью векторов иназывают векторВторое слагаемое является вектором, противоположным векторупо направлению, но равным ему по длине.

Обозначим через единичные векторы или орты, совпадающие с положительным направлением осей соответственно Оx, Oy, Oz.

Координатами вектора , где О – начало координат, называются координаты его конечной точки. Вектор, начало которого находится в начале координат, а конец - в точке А (x1, y1, z1), называют радиус-вектором точки А и обозначаютили просто. Так как его координаты совпадают с координатами точки А, то его разложение по ортам имеет вид

Вектор , имеющий начало в точке А(x1, y1, z1) и конец в точке B(x2,y2,z2), может быть записан в видегде- радиус-вектор точки В;- радиус-вектор точки А. Поэтому разложение вектора по ортам имеет вид

Его длина равна расстоянию между точками А и В

Свободный вектор, например , заданный в координатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде

Здесь x_d, y_d, z_d - проекции вектора на соответствующие оси координат (координаты вектора),

- орты этих осей.

Длина вектора определяется по формуле

Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

А произведение вектора на числоесть вектор.

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) (дистрибутивность);

4) .

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

Из определения следует где φ - угол между векторами.

Косинус угла между векторами определится выражением

Из определения скалярного произведения следует, что если векторы ортогональны, то (условие ортогональности ненулевых векторов).

Условие коллинеарности двух векторов

Свойства скалярного произведения:

Рассмотрим плоскость, на которой геометрическими объектами являются различные линии и требуется изучать их свойства. Для этого введем на плоскости некоторую декартову систему координат и возьмем на некоторой линии L произвольную точку M(xy). Если точку M(xy) перемещать вдоль L, то ее координаты будут меняться, но не произвольно. Между ними существует некоторая связь, которая определяется геометрическими свойствами линии L.

Опр. Cвязь y = f(x) или F(xy) = 0 называется уравнением линии L, если этим соотношениям удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих линии L.

Таким образом, координаты на плоскости позволяют для каждой линии выписать некоторое уравнение, которое определяется геометрическими свойствами линии, кроме того, оказывается, что каждому уравнению можно поставить в соответствие некоторую линию, и только координаты точек этой линии будут удовлетворять данному уравнению.

В связи с этим возникают две задачи.

1. По геометрическим свойствам линии требуется составить ее уравнение.

2. По некоторому уравнению требуется установить геометрические свойства линии, которая этим уравнением определяется.

Рассмотрим теорию прямой линии в пространстве R².

Пусть прямая пересекает ось Оy в точке B(0; b) и образует с осью Ox угол , (). Возьмем на прямой произвольную точку М(x; y), тогда из прямоугольного треугольника MBN . Введем угловой коэффициент прямой, получим

. (1)

Таким образом, k есть тангенс угла между заданной прямой и осью абсцисс, а свободный член b есть ордината точки пересечения прямой с осью ординат. Число k называют угловым коэффициентом прямой, а b - начальной ординатой.

Уравнение (1) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Очевидно, что уравнением прямой вида (1) можно описать любые прямые, кроме прямых, параллельных оси ординат, которые описываются уравнением x = а, где а = const.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

(2).

Уравнение пучка прямых.

Если в уравнении (2) k – произвольное число, то это уравнение определяет пучрк прямых, проходящих через точку , кроме прямой, параллельной осиOy и не имеющей углового коэффициента.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть даны две точки ии,. Уравнение искомой прямой имеет вид:

или (3)

Уравнение прямой в отрезках.

(4)

Общее уравнение прямой.

Рассмотрим уравнение

Ax + By + С = 0, (5)

в котором А и В не равны нулю одновременно.

При любых значениях коэффициентов А, В (не равных одновременно нулю) и С уравнение (5) есть уравнение некоторой прямой на плоскости Оxy, его называют общим уравнением прямой.

Заметим, что в отличие от уравнения пучка прямых общее уравнение включает и уравнение любой вертикальной прямой, параллельной оси Oy.

Угол между двумя прямыми.

Пусть заданы две прямые ,и требуется определить угол между ними.

, .

Таким образом,

Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности прямых.

, если прямые заданы общими уравнениями, то

Для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: .

если прямые заданы общими уравнениями, то

Точка пересечения прямых.

Пусть даны две прямые и. Очевидно, что координаты их точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению, то есть могут быть найдены из системы:

. Если прямые не параллельны, то есть , то решение системы дает единственную точку пересечения.

Расстояние от точки до прямой.

Пусть даны точка и прямая. Под расстоянием от точки до прямой понимается длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она находится по формуле:

.

Лекция 5. (Информационная лекция с использованием средств мультимедиа).

Уравнение плоскости. Уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Плоскость и прямая в аффинном пространстве. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Прямая в пространстве. Канонические уравнения прямой, уравнение прямой, проходящей через две точки. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Опр. Линейным уравнением относительно переменных x, y, z называется уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0, где хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля.

Теорема. Всякая плоскость в пространстве определяется линейным уравнением

и обратно, всякое линейное уравнение (3) определяет плоскость в пространстве.

Действительно, пусть в пространстве R³ задана плоскость (Р) (рис. 1).

 

Выбираем на ней какую-либо точку M₀(x₀, y₀, z₀), и в некоторой точке плоскости (P) построим ненулевой вектор , перпендикулярный плоскости (P). Для того, чтобы произвольная точка M(x, y, z) пространства принадлежала плоскости (P), необходимо и достаточно, чтобы , то есть

Уравнение (4) называется векторным уравнением плоскости.

Т.к. и, то скалярное произведение в (4) можем заменить через координаты сомножителей, а именно:

Уравнение (5) перепишем в виде:

где D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀,

то есть получим уравнение (3). Это показывает, что любая плоскость может быть описана уравнением (3).

Уравнение (3) называют общим уравнением плоскости, а уравнение (5) - уравнением плоскости, проходящей через заданную точку M₀(x₀, y₀, z₀).

Отметим, что вектор называютнормальным вектором плоскости и в качестве нормального вектора плоскости может быть взят любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости.

Легко доказывается и обратное: дано уравнение Ax + By + Cz + D = 0 и нужно убедиться, что оно описывает плоскость в пространстве R³.

Пусть (x₀, y₀, z₀) - какое-либо решение данного уравнения. Тогда Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0. Отсюда получаем D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀ и, подставляя в исходное уравнение, получаем:

Ax + By + Cz -Ax₀ - By₀ - Cz₀ = 0, или A(x - x₀) + B(y- y₀) + C(z - z₀) = 0.

А это есть уравнение плоскости, проходящей через точку (x₀, y₀, z₀) и имеющую нормальный вектор . Следовательно, и равносильное ему уравнениеAx + By + Cz + D = 0 определяет плоскость. Теорема доказана.

Рассмотрим важный частный случай построения уравнения плоскости, когда известны три точки M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃), принадлежащие плоскости и не лежащие на одной прямой.

Уравнение (6) есть уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M₁, M₂, M₃.

При решении задач часто используется так называемое уравнение плоскости в отрезках на осях.

Уравнение (7) и называют уравнением плоскости в отрезках на осях, т.к. числа a, b, c имеют простой геометрический смысл: а - абсцисса точки пересечения плоскости с осью Ох, b - ордината точки пересечения плоскости с осью Оу, с - аппликата точки пересечения плоскости с осью Oz.

Решим теперь задачу о вычислении угла между двумя плоскостями. Угол между двумя плоскостями, точнее, один из двух смежных углов между двумя плоскостями, может быть вычислен как угол между нормальными векторами этих плоскостей. Если плоскости заданы своими общими уравнениями

,

то их нормальные векторы имеют вид и потому уголΘ между плоскостями находим по формуле

Условием параллельности двух плоскостей является условие

а условием перпендикулярности двух плоскостей является условие

Прямая линия в пространстве

Прямую линию можно определить как геометрическое место точек, принадлежащих одновременно двум непараллельным плоскостям.

Пусть уравнения плоскостей P₁ и P₂ заданы, тогда

определяет прямую линию, и систему (11) называют общим уравнением прямой линии.

Рассмотрим теорию прямой линии в пространстве R3. Очевидно, прямая линия будет полностью определена, если на ней фиксировать точку M0(x0, y0, z0) и вектор ,параллельный этой прямой (рис. 2). Точку M0 иногда называют начальной точкой, а вектор - направляющим вектором прямой. Получим наиболее употребительные формы уравнения прямой в пространстве.

Пусть - радиус-вектор начальной точки M₀, - радиус-вектор текущей точки М прямой. Тогда векторколлинеарен направляющему вектору прямой, следовательно,

где t - некоторое число, называемое параметром.

Уравнение (12) называется векторным параметрическим уравнением прямой.

Если то можно перейти от уравнения (12) к параметрическим уравнениям прямой в координатном виде:

Изменяя значения t, можно получить координаты любой точки, лежащей на прямой. Из уравнений (13) получим:

Отсюда

Уравнения (14) называются каноническими уравнениями прямой.

Опр. Углом между двумя прямыми в пространстве будем называть любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку пространства параллельно данным прямым. Следовательно, угол между двумя прямыми - это угол φ между их направляющими векторами, т.е.

Условие перпендикулярности двух прямых - это условие перпендикулярности их направляющих векторов:

а условие параллельности двух прямых - это условие параллельности (коллинеарности) их направляющих векторов:

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Пусть плоскость (Р) задана уравнением

а прямая L - своими каноническими уравнениями

Требуется найти угол между прямой (31) и плоскостью (30). Углом между прямой и плоскостью назовем угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 5).

Тогда угол φ между прямой и плоскостью не превышает π/2. Пусть - нормальный вектор плоскости, а- направляющий вектор прямой. Т.к. , то

Поставим задачу определить координаты точки пересечения прямой (32) и плоскости (30). Поскольку точка пересечения одновременно принадлежит и прямой и плоскости, то ее координаты (х, у, z) удовлетворяют системе уравнений

Запишем параметрические уравнения прямой

Координаты точки пересечения (х, у, z), найденные из уравнений прямой, должны удовлетворять уравнению плоскости, т.е.

Отсюда находим значение параметра t для точки пересечения

и затем с помощью параметрических уравнений прямой вычисляем координаты точки пересечения (х, у, z).

Возможны случаи:

Практические и семинарские занятия – 8 часов.

Занятие 7. Векторы на плоскости и в пространстве.

Форма проведения занятия – разбор результатов контрольной работы, краткое обсуждение теоретического материала, решение задач.

Отрабатываемые вопросы:

1. Нахождение линейной комбинации векторов.

2. Нахождение длины вектора, угла между векторами.

3. Нахождение разложения вектора по другим векторам.

4. Скалярное произведение векторов.

Занятие 8. Уравнение прямой на плоскости.

Форма проведения занятия – проверка домашнего задания, краткое обсуждение теоретического материала, решение задач.

Отрабатываемые вопросы:

1. Простейшие задачи: нахождение координат середины отрезка, длины отрезка.

2. Уравнение прямой на плоскости. Решение простейших задач.

3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Занятие 9. Уравнение плоскости и прямой в пространстве.

Форма проведения занятия – проверка домашнего задания, проведение самостоятельной работы по темам «Векторы», «Уравнение прямой на плоскости», обсуждение нового теоретического материала, решение задач.

Отрабатываемые вопросы.

1. Уравнение плоскости.

2. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

3. Уравнение прямой в пространстве.

4. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

Занятие 10. Контрольная работа № 2 по теме «Элементы аналитической геометрии».

Форма проведения занятия – проверка домашнего задания, решение задач по теме «Взаимное расположение прямой и плоскости», проведение контрольной работы № 2 по теме «Элементы аналитической геометрии».

Управление самостоятельной работой студента.

Консультации, опрос по теоретическому материалу, проверка и разбор домашней работы, а также результатов самостоятельной и контрольной работы (см. подробнее в Приложении 3).