6. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория с доской (меловой или маркерной) – для проведения практических занятий.

Аудитория, оборудованная мультимедийными средствами обучения – для проведения лекционных занятий.

Приложение 1 к рабочей программе дисциплины «Математика»

Аннотация рабочей программы

Учебная дисциплина «Математика» относится к математическому и естественнонаучному циклу ООП бакалавриата по направлению подготовки 081100 – Государственное и муниципальное управление. Дисциплина реализуется на кафедре математики и информационных технологий.

Дисциплина нацелена на формирование компетенций выпускника:

общекультурных

ОК-4 (знанием законов развития природы, общества, мышления и умением применять эти знания в профессиональной деятельности; умением анализировать и оценивать социально-значимые явления, события, процессы; владением основными методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования);

профессиональных

ПК-5 (способностью применять адекватные инструменты и технологии регулирующего воздействия при реализации управленческого решения);

ПК-23 (способностью адаптировать основные математические модели к конкретным задачам управления) выпускника.

Содержание дисциплины охватывает круг вопросов, связанных с формирование математической культуры, повышением уровня фундаментальной математической подготовки студентов с акцентом на ее прикладную направленность. Профессиональный уровень экономиста во многом зависит от того, освоил ли он математический аппарат и умеет ли его использовать при анализе сложных экономических процессов и принятии управленческих решений.

Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации учебного процесса: лекции, практические занятия, самостоятельная работа студента, консультации.

Программой дисциплины предусмотрены следующие виды и формы контроля: 1) текущий контроль в форме контрольных работ, 2) рубежный и промежуточный контроль в форме экзамена (после каждого семестра).

Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 180 часов. Программой дисциплины предусмотрены лекционные (32 часа), практические (68 часов) занятия, 26 часов самостоятельной работы студента.

Приложение 2 к рабочей программе дисциплины «Математика»

Технологии и формы преподавания

Рекомендации по организации и технологиям обучения для преподавателя

1. Образовательные технологии

Преподавание дисциплины ведется с применением следующих видов образовательных технологий: проблемное обучение, индивидуальное обучение, междисциплинарное обучение, развивающее обучение (проведение олимпиад и конкурсов), интерактивное обучение, опережающая самостоятельная работа.

Общее количество часов аудиторных занятий, проводимых в интерактивной форме - 20 часов (20%).

2. Виды и содержание учебных занятий

Модуль 1. Основы линейной алгебры.

Теоретические занятия (лекции) – 6 часов.

Лекция 1. (Информационная лекция с использованием средств мультимедиа).

Матрицы и операции над ними. Определители квадратных матриц и их свойства.

Матрицы, основные сведения. Операции над матрицами: умножение матрицы на число, сложение матриц, умножение матриц, возведение в степень, транспонирование матриц, след матрицы. Свойства операций над матрицами.

Понятие определителя. Вычисление определителей второго и третьего порядков. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа о разложении определителя по строке (столбцу). Свойства определителей.

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Так как значительная часть математических моделей экономических процессов записывается в достаточно простой, а главное компактной матричной форме.

Прямоугольной матрицей размерностью m на n называется прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов.

.

Величины, из которых состоит эта таблица, называются элементами матрицы и обозначаются той же буквой, только строчной, что и матрица, с указанием номера строки (первый индекс) и номера столбца (второй индекс).

С помощью матриц, например, удобно записывать таблицу распределения ресурсов, усл. ед., по отдельным отраслям экономики:

Виды матриц. Если число строк равно числу столбцов, то матрицу называют квадратной порядка, равного числу строк (столбцов).

Например, - квадратная матрица третьего порядка.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые первый и второй индекс (b₁₁ b₂₂ b₃₃), образуют главную диагональ. Элементы этой матрицы образуют побочную диагональ. Квадратная матрица, независимо от ее порядка, называетсяединичной матрицей, если элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу обозначают Е.

Если матрица состоит только из одной строки (столбца), то она называется матрицей-строкой (матрицей-столбцом).

Как и у чисел, у матриц существует матрица, выполняющая роль нуля, - нулевая матрица. Это матрица, все элементы которой равны нулю.

Две матрицы считаются равными, если размеры матриц (число строк и столбцов) одинаковы и равны элементы, лежащие на пересечении соответствующих строк и столбцов.

Операции над матрицами.

Произведением матрицы A на число называется матрица ,элементы которойдля;.

В результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на число.

Мы получим одинаковый результат, умножая число на матрицу, или матрицу на число.

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица.

Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковой размерности.

Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица,элементы которойдля;(то есть матрицы складываются поэлементно.

Разность двух матриц А и В одинакового размера определяется через предыдущие операции.

Очевидно, результат сложения не изменится, если слагаемые матрицы поменять местами. Если к матрице прибавить или от нее отнять нулевую матрицу той же размерности, то получим исходную матрицу.

Умножать друг на друга можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов совпадает с числом столбцов второго сомножителя.

Иными словами, перемножать можно те матрицы, у которых совпадают средние индексы. Крайние индексы определяют размерность получаемого результата.

Элемент матрицы С, принадлежащий i-ой строке и j-му столбцу, вычисляется как произведение i-ой строки первой матрицы на j-ый столбец второй матрицы . Так, например, при вычислении элементаумножается первая строка на третий столбец, а при вычислении элементаумножается третья строка на первый столбец.

Можно перемножать только те строки и столбцы, у которых одинаковое число элементов (смотри условие возможности умножения матриц). В результате получается число, равное сумме произведений соответствующих элементов (первый элемент строки на первый элемент столбца плюс второй элемент строки на второй элемент столбца и т. д. и, наконец, плюс произведение последних элементов).

Отметим основные свойства операций над матрицами:

1. А+В=В+А;

2. (А+В)+С=А+(В+С);

3. ;

4. А(В+С)=АВ+АС;

5. (А+В)С=АС+ВС;

6. ;

7. А(ВС)=(АВ)С.

Эти свойства присущи операциям над числами, но есть и специфические свойства матриц.

В общем случае Причем если АВ существует, то ВА может и не существовать. Если даже эти произведения и существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

Если то матрицыА и В называются перестановочными по отношению друг к другу. При умножении любой квадратной матрицы на единичную первоначальная матрица не меняется Если АВ=АD, то из этого равенства не следует , что матрицы В и D равны.

Целой положительной степенью () квадратной матрицы А называется произведениеm матриц, равных А, т.е. .

Заметим, что операция возведения в степень определена только для квадратных матриц. По определению полагают, что ;,,. Однако равенствосправедливо только для перестановочных матриц.

Транспонированием матрицы А называют переход от матрицы А к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

Свойства операции транспонирования:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов. След обозначается trA и играет важную роль в исследовании матриц и их приложениях.

Свойства следа матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее след не изменяется .

2. Если матрица D диагональная с элементами (), то для любого натуральногоm .

3. Если А и В квадратные матрицы n-го порядка, то (хотя в общем случае).

4. Если С невырожденная матрица n-го порядка, то для любой матрицы А n-го порядка выполняется равенство .

Определители квадратных матриц и их свойства.

Важнейшей числовой характеристикой квадратной матрицы является определитель, который для матрицы обозначается следующим образом:

Размерность матрицы, для которой ищется определитель, задает его порядок. Если квадратная матрица имеет определитель, отличный от нуля (Δ ≠ 0), то говорят, что матрица невырожденная, в противном случае - матрица вырожденная или особая.

Определитель матрицы первого порядка .

Определитель матрицы второго порядка равен .

определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Определитель матрицы третьего порядка равен

.

Схема. Правило Сарруса (правило треугольников).

Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1) порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j–го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком .

(2)

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца на их алгебраические дополнения.

Получается, что определитель n - го порядка мы найдем через определители (n -1) - го порядка.

Свойства определителей

Перечисленные ниже свойства рекомендуется использовать при вычислении определителей.

1. Если в определителе есть нулевая строка (столбец), то определитель равен нулю.

2. Общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

5. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

6. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой стоки (столбца) этой матрицы равна нулю, т. е. при.

8. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится.

9. Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной матрицы заменой элементов этой строки (столбца) на числа.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , где С=АВ. А и В – матрицыn-го порядка.

Лекция 2. (Информационная лекция с использованием средств мультимедиа.)

Обратная матрица. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений: основные понятия.

Понятие обратной матрицы. Теорема о необходимом и достаточном условии существования обратной матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Понятие ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Свойства рангов матриц.

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Общий вид и свойства СЛАУ, матричная форма СЛАУ.

Опр. Матрица A^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: A^-1A = A A^-1 = E.

Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы. Причем сама является той же размерности, что и исходная матрица. Можно показать, что для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, она должна быть невырожденной (т.е. Δ ≠ 0 ). Это условие является и достаточным для существования матрицы A^-1 , обратной матриц е А.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Сформулируем правило нахождения обратной матрицы.

1. Находим определитель матрицы. Если Δ ≠ 0, то матрица A^-1 существует.

2. Транспонируем матрицу А и получим А^T.

3. Составим присоединенную матрицу алгебраических дополнений элементов матрицы А^T. . (т.е. в матрицеэлементомi - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение элементаматрицы А^T.

4. Найдем обратную матрицу .

После вычисления обратной матрицы рекомендуется убедиться в том, что выполняется одна из частей условия.

Для решения математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

Рассмотрим прямоугольную матрицу

В матрице А размера вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где. Определители k-го порядка таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А. Так, у матрицы с тремя строками и пятью столбцами возможны миноры первого, второго и третьего порядка.

Опр. Рангом матрицы А (обозначается r(A)) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Из определения следует:

• Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.;

• тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю

Для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица А невырожденная.

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы.

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используют преобразования матрицы, сохраняющие ее ранг.

Элементарные преобразования матрицы:

1. отбрасывание нулевой строки (столбца);

2. умножение всех элементов строки (столбца) на число, не равное нулю;

3. перестановка строк (столбцов) матрицы;

4. прибавление к каждому элементу строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

5. транспонирование.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразований.

Подчеркнем, что сама матрица при элементарных преобразованиях меняется, но ранг матрицы не изменится.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна получена из другой с помощью элементарных преобразований. Из теоремы следует, что эквивалентные матрицы имеют одинаковые ранги.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, тогда вычисление ранга не будет представлять труда.

Матрица А называется ступенчатой, если она имеет следующий вид:

, где ,.

Условие всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен r , так как имеется минор r-го порядка, не равный нулю:

.

(Так как определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали).

Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. 

6. , если В – квадратная матрица, определитель которой не равен нулю.

7. , если А и С – квадратные матрица, определитель которых не равен нулю.

8. , где n – число столбцов матрицы А или строк матрицы В.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Системы линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид

(1)

Здесь x1, x2,...xn – неизвестные, коэффициенты a_ij и свободные члены - известные числа.

Более кратко систему можно записать: .

Систему линейных уравнений можно записать и в матричной форме: .

где ,,.

Лекция 3. (Информационная лекция с использованием средств мультимедиа.)

Теорема Крамера. Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений.

Понятие решения СЛАУ, совместные, несовместные, определенные, неопределенные СЛАУ. Методы решения квадратных СЛАУ. Метод обратной матрицы. Теорема Крамера.

Метод Гаусса. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера-Капелли. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений. Применение элементов линейной алгебры в экономике (модель Леонтьева многоотраслевой экономики).

Решением системы называется любой упорядоченный набор чисел, при подстановке которых вместо неизвестных каждое уравнение системы обращается в тождество.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений.

Система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если решений больше одного.

Система линейных уравнений может иметь:

1. единственное решение (система совместна и определена);

2. более одного решения (система совместна и неопределена);

3. не иметь решений (система несовместна).

Две системы называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Матричный метод

Матричным методом могут быть решены только те системы, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля (матрица А невырожденная).

Решение системы можно получить так:

,

, (обратная матрица существует, так как .

,

.

Т.е., для получения столбца неизвестных нужно обратную матрицу матрицы коэффициентов системы умножить на столбец свободных членов.

Матричный метод годится для решения любых систем, у которых матрица А квадратная и невырожденная.

Формулы Крамера.

Теорема. Пусть - определитель матрицы системы А, а- определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:().

Метод Гаусса.

Этот метод решения систем линейных уравнений пригоден для решения систем с любым числом уравнений и неизвестных.

Метода Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных. Его суть заключается в преобразовании заданной системы уравнений с помощью элементарных преобразований в эквивалентную систему ступенчатого треугольного вида.

Полученная система содержит все неизвестные в первом уравнении. Во втором уравнении отсутствует первое неизвестное, в третьем уравнении отсутствуют первое и второе неизвестные и т. д.

Если система совместна и определена (единственное решение), то последнее уравнение содержит одно неизвестное. Найдя последнее неизвестное, из предыдущего уравнения находим еще одно - предпоследнее. Подставляя полученные величины неизвестных, мы последовательно найдем решение системы.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений, используемыми для приведения системы к треугольному виду, являются следующие преобразования:

- перестановка местами двух уравнений;

- умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;

- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.

Элементарные преобразования переводят данную систему линейных алгебраических уравнений в эквивалентную систему.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя их не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов.

Матрицу

называют расширенной матрицей системы (1).

Теорема Кронекера – Капели. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов А этой системы равен рангу ее расширенной матрицы.

(без доказательства)

Пусть . R переменныхназываются основными (базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (то есть базисный минор) не равен нулю. Остальные n-r неизвестные называются неосновными (свободными). Придавая свободным неизвестным произвольные значения, можно найти соответствующие значения базисных неизвестных. Решение системы, в котором все n-r неосновных переменных равны нулю, называется базисным. Так как каждому разбиению системы на основные и неосновные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит, то и базисных решений имеется не более.

Таким образом, совместная система m линейных уравнений с n переменными (m<n) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее , где.

Решить систему - значит, найти все ее решения (в случае неопределенной системы - указать правило, по которому можно найти любое ее решение, т.е. дать формулу общего решения) или доказать ее несовместность.

Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид:

(2)

Система линейных однородных уравнений всегда совместна и имеет хотя бы одно решение x₁ = x₂ = ... = x_n = 0. Это решение не всегда единственно.

Система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. .

Обозначим решение системы в виде строки.

Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:

Если строка - решение системы (2), то и строкатакже решение этой системы.

Если строки и- решения системы (2), то при любыхиих линейная комбинациятакже решение этой системы.

Таким образом, всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы.

Опр. Система линейно независимых решений называется фундаментальной, если каждое решение системы (2) является линейной комбинацией решений .

Теорема. Если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений (2) меньше числа переменных n , то всякая фундаментальная система решений системы (2) состоит из n-r решений.

Поэтому общее решение системы (2) линейных однородных уравнений имеет вид , где любая фундаментальная система решений, - произвольные числа, k=n-r.

Для нахождения фундаментальной системы решений системы уравнений (2) ее r базисных переменных выражают через свободные переменные. Затем поочередно заменяют n-r свободных переменных элементами каждой строки невырожденной квадратной матрицы порядка n-r, например единичной.

Теорема. Общее решение системы (1) m линейных уравнений с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородных линейных уравнений (2) и произвольного частного решения системы: ,где x и соответственно общее и частное решения системы (1), -фундаментальная система решений.

Практические занятия – 12 часов.

Занятие 1. Матрицы и операции над ними. Определители квадратных матриц.

Форма проведения занятия – краткое обсуждение теоретического материала, решение задач как совместное, так и индивидуальное.

Отрабатываемые вопросы:

1. Сложение и вычитание матриц.

2. Транспонирование матриц.

3. Умножение матриц.

4. Нахождение следа матрицы.

5. Нахождение определителя второго и третьего порядков.

6. Разложение определителя по строке (столбцу).

Занятие 2. Обратная матрица. Ранг матрицы.

Форма проведения занятия – проверка домашнего задания, обсуждение нового теоретического материала, решение задач.

Отрабатываемые вопросы.

1. Нахождение обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы.

2. Элементарные преобразования матрицы.

3. Понятие ранга и его свойства.

4. Вычисление ранга матрицы.

Занятие 3. Квадратные системы линейных уравнений.

Форма проведения занятий – проверка домашнего задания, проведение самостоятельной работы по теме «Матрицы и определители», разбор новой темы, решение задач.

Отрабатываемые вопросы.

1. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

2. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

Занятие 4. Метод Гаусса.

Форма проведения занятий – проверка домашнего задания, обсуждение результатов самостоятельной работы, обсуждение теоретического материала по новой теме, разбор примеров решения задач, решение задач.

Отрабатываемые вопросы.

1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

2. Теорема Кронекера-Капелли.

3. Общее и частное решения систем уравнений и их нахождение.

4. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Занятие 5. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

Форма проведения занятий – проверка домашнего задания, проведение самостоятельной работы по теме «Решение систем линейных уравнений», обсуждение теоретического материала по новой теме, разбор примеров решения задач, решение задач.

Отрабатываемые вопросы.

1. Решение систем линейных однородных уравнений.

2. Нахождение фундаментальной системы решений.

Занятие 6. Контрольная работа № 1 по теме «Основы линейной алгебры».

Форма проведения занятия – проверка домашнего задания, проведение контрольной работы № 1 по теме «Основы линейной алгебры».

Управление самостоятельной работой студента.

Консультации, опрос по теоретическому материалу, проверка и разбор домашней работы, а также результатов самостоятельной и контрольной работы (см. подробнее в Приложении 3).