3. Неоклассическая функция полезности (функция полезности Кобба-Дугласа):

Данное семейство функций полезности описывает предпочтения потребителя, обладающие свойством выпуклости, т. е. ситуацию, когда потребителю важно включать в набор какое-то количество единиц каждого товара. При этом уменьшение потребления какого-либо товара может быть скомпенсировано за счет увеличения потребления других товаров. Здесь величины ппредставляют весовые коэффициенты, описывающие предпочтения потребителя между различными видами товаров,представляет собой масштабирующий множитель.

Кривые безразличия

Множество наборов товаров, обеспечивающих потребителю заданный уровень полезности (являющихся одинаково полезными для потребителя) называют кривой безразличия.

Пусть на пространстве товаров задана функция полезности и- выбранный потребителем уровень полезности, тогда кривой безразличия уровняназывают множество наборов товаров

Очевидно, что семейство кривых безразличия представляет собой семейство линий уровня для функции полезности потребителя.

Для простоты будем предполагать, что в распоряжении потребителя имеются два вида товара:

- количество единиц первого товара,

- количество единиц второго товара.

Функция полезности потребителя .

Рассмотрим основные свойства кривых безразличия:

1. Кривые безразличия, соответствующие различным уровням полезности, не пересекаются и не имеют общих точек. Это утверждение непосредственно следует из определения кривой безразличия.

2. В случае, когда предпочтения потребителя обладают свойством ненасыщаемости, чем дальше на северо-восток на координатной плоскости располагается кривая безразличия, тем более высокому уровню полезности она соответствует.

3. Кривая безразличия представляет собой график убывающей функции.

Докажем это утверждение. Запишем уравнение кривой безразличия в виде:

Данное тождество задает как неявную функцию от аргумента.

Используя правило дифференцирования неявной функции, находим производную :

Поскольку из свойств функции полезности следует, что предельные полезности являются неотрицательными величинами, то, следовательно, в левой части равенства стоит неположительная величина. Это означает, что , т. е. зависимостьотпредставляет собой убывающую функцию.

В случае стандартных предпочтений потребителя, кривая безразличия представляет собой график выпуклой вниз функции.

Основные виды кривых безразличия

1. Совершенные товарозаменители.

Вспомним, что в этом случае функция полезности имеет вид:

Следовательно, уравнение кривой безразличия:

Таким образом, в случае совершенных товарозаменителей кривые безразличия представляют собой прямые линии с отрицательным коэффициентом наклона к положительному направлению оси абсцисс.

2. Выпуклые предпочтения потребителя

Вспомним, что данные предпочтения описываются функцией полезности Кобба-Дугласа:

Отсюда получаем уравнение кривой безразличия:

Кривые безразличия представляют собой семейство гипербол, расположенных в первой координатной четверти.

3. Взаимодополняемые товары.

Как мы знаем, в этом случае функция полезности имеет вид:

Вспомним определение функции :

Отсюда получаем, что уравнения кривых безразличия имеют следующий вид:

Графически семейство кривых безразличия можно представить следующим образом:

Задача потребительского выбора

Предположим, что у потребителя имеется некий доход, который он собирается потратить на приобретение набора товаров. Обозначим через размер дохода потребителя, через- цены единиц соответствующих видов товаров,- вектор цен товаров. В этом случае, стоимость набора товаров, приобретаемого потребителем будет равна:

Каждому потребителю доступны лишь те наборы товаров, чья стоимость не превышает дохода потребителя. Множество наборов товаров, доступных потребителю, образуют бюджетное множество потребителя.

Пусть доход потребителя составляет величину . В этом случае, бюджетным множеством потребителя называется множество наборов товаров:

Те наборы товаров, чья стоимость в точности соответствует доходу потребителя, образуют бюджетную линию.

Пусть доход потребителя составляет величину . В этом случае, бюджетной линией потребителя называется множество наборов товаров

В качестве примера рассмотрим случай, когда в распоряжении потребителя имеются два вида товара. Введем следующие обозначения:

- количество единиц первого товара,

- количество единиц второго товара,

- потребительский набор,

- вектор цен.

В этом случае, бюджетной линия будет представлять собой прямую, удовлетворяющую уравнению или. Бюджетным множеством потребителя будет часть первой четверти координатной плоскости, которая лежит ниже бюджетной линии:

Задача потребительского выбора формулируется следующим образом: Cреди множества наборов товаров, доступных потребителю, потребитель стремится выбрать тот, который обеспечит ему наибольший уровень полезности.

Математическая формулировка задачи потребительского выбора имеет следующий вид: