Структура оптимизационных задач

Все оптимизационные задачи можно классифицировать как задачи минимизации (максимизации) некоторой функции:

векторного аргумента x={x1, х2, . . , xw}, при условиях

, ,

, ,

, j=1,…,n.

Функция называется целевой функцией,‑ ограничениями в виде равенств,- ограничениями в виде неравенств- ограничениями в виде неравенств. При этом предполагается, что число ограничений конечно. Если математическая модель задачи включает ограничения, то говорят о задаче оптимизации с ограничениями или задаче условной оптимизации. Задача, в которой нет ограничений, называется оптимизационной задачей без ограничений или задачей безусловной оптимизации.

Задачи без ограничений, в которых x представляет собой одномерный вектор, называются задачами с одной переменной.

Задачи условной оптимизации, в которых функции ограничения являются линейными, носят название задач c линейными ограничениями. В таких задачах целевые функции могут быть либо линейными, либо нелинейными.

Задачи, в которых линейная функция вектора называются задачами линейного программирования. В задачах целочисленного программирования компоненты вектора х должны принимать только целые значения.

Задачи с нелинейной целевой функцией и линейными ограничениями иногда называют задачами нелинейного программирования с линейными ограничениями. Оптимизационные задачи такого рода классифицируются на основе структурных особенностей нелинейных целевых функций, играющих важную роль при разработке методов решения такого рода задач.

Математическая дисциплина, занимающаяся изучением экстремальных (максимальных и минимальных) задач управления, планирования и разработкой методов их решения называется математическим программированием. В зависимости от вида функции математическое программирование делится на линейное и нелинейное.

Элементы линейного программирования

Линейное программирование – наука о методах исследования и отыскания экстремальных значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Линейная функция называется целевой.

Математическая модель ЗЛП может быть:

канонической;

неканонической.

Опр. Если все ограничения заданы уравнениями и переменные , то такая модель задачи называется канонической.

В общем виде каноническая задача линейного программирования записывается:

при ограничениях

, ,,

Где - неизвестные,- заданные постоянные величины.

Более кратко можно записать:

, ,,.

Чтобы перейти от неканонической задачи к канонической, нужно в каждое неравенство ввести балансовую переменную . Если знак неравенства, то переменная вводится со знаком плюс, в противном случае, со знаком минус. В целевую функцию балансовые переменные не вводятся.

Опр. Допустимым решением (планом) ЗДЛ называется вектор , удовлетворяющий системе ограничений.

Множество допустимых решений образуют область допустимых решений (ОДР).

Опр. Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным решением ЗЛП и обозначается .

Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными

Знаки некоторых или всех неравенств могут быть .

Опр. Решением каждого неравенства системы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.

Опр. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью решения системы (ОР).

Опр. Область решения системы, удовлетворяющая условиям неотрицательности (), называется областью неотрицательных, или допустимых, решений (ОДР).

Если система неравенств совместна, то ОР и ОДР могут быть многогранником, неограниченной многогранной областью или точкой.

Если система неравенств несовместна, то ОР и ОДР – пустое множество.