Модуль 6. Экономико-математические методы и модели.

Теоретические занятия (лекции) – 6 часов.

Лекция 14. (Информационная лекция с использованием средств мультимедиа).

Задачи математического и линейного программирования.

Экономико-математические методы. Классические методы оптимизации. Линейные задачи оптимизации. Основные определения и задачи математического и линейного программирования (ЗЛП). Математические модели простейших экономических задач. Каноническая форма ЗЛП. Системы линейных неравенств. Решение систем линейных неравенств с двумя переменными. Графический метод решений ЗЛП.

Постановка оптимизационной задачи

Общий смысл задачи оптимизации заключается в следующем: ситуация, в которой применяется решение, характеризуется наличием некоторых условий, определяющих обстановку (средства, которые имеются в распоряжении). В рамках этих условий требуется принять такое решение, чтобы задуманное мероприятие было наиболее выгодным.

Теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, ориентированных на нахождение и идентификацию наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать полного перебора и оценивания возможных вариантов.

Процесс оптимизации лежит в основе всей управленческой деятельности, поскольку классические функции руководителя заключаются в том, чтобы, с одной стороны, решать вновь возникающие проблемы наиболее эффективным и наименее дорогостоящим способом и, с другой - разрабатывать методы повышения качества функционирования существующих организационных структур. Так как размерность управленческих задач, как правило, достаточно велика, а расчеты в соответствии с алгоритмами оптимизации требуют значительных затрат времени, оптимизационные методы ориентированы главным образом на реализацию с помощью ЭВМ.

Корректная постановка задачи служит ключом к успеху оптимизационного исследования и ассоциируется в большей степени с искусством, нежели с точной наукой. Искусство постановки задач постигается в практической деятельности на примерах успешно реализованных разработок и основывается на четком представлении преимуществ, недостатков и специфических особенностей различных методов теории оптимизации.

Этапы постановки задачи оптимизации:

1. Определение границ системы.

Прежде чем приступить к оптимизационному исследованию, важно четко определить границы изучаемой системы, которая является некоторой изолированной частью реального мира. Границы системы задаются пределами, отделяющими систему от внешней среды, и служат для выделения системы из ее окружения. При проведении анализа обычно предполагается, что взаимосвязи между системой и внешней средой зафиксированы на некотором выбранном уровне представления. Тем не менее, поскольку такие взаимосвязи всегда существуют, определение границ системы является первым шагом в процессе приближенного описания реальной системы.

2. Выбор характеристического критерия

Если подлежащая исследованию система определена и ее границы установлены, то на следующем этапе постановки задачи оптимизации необходимо осуществить выбор критерия, на основе которого можно оценить характеристики системы или ее проекта, с тем чтобы выявить “наилучший” проект или множество “наилучших” условий функционирования системы. В управленческих приложениях обычно выбираются критерии экономического или временного характера. Однако спектр возможных формулировок таких критериев весьма широк; при определении критерия могут использоваться такие экономические характеристики, как затраты, издержки в единицу времени, доходы, отношение затрат к выигрышу во времени.

Независимо от того, какой критерий выбирается при оптимизации, “наилучшему” варианту всегда соответствует минимальное или максимальное значение характеристического показателя качества функционирования системы.

Важно, что независимо от содержания оптимизационных методов только один критерий (и, следовательно, характеристическая мера) может использоваться при определении оптимума, так как невозможно получить решение, которое, например, одновременно обеспечивает минимум затрат и максимум эффективности. Здесь мы опять сталкиваемся с существенным упрощением реальной ситуации, поскольку в ряде практических случаев было бы весьма желательным найти решение, которое бы являлось “наилучшим” с позиций нескольких различных критериев.

Один из путей учета совокупности противоречивых целевых установок состоит в том, что какой-либо из критериев выбирается в качестве первичного, тогда как остальные критерии считаются вторичными. В этом случае первичный критерий используется при оптимизации как характеристическая мера, а вторичные критерии порождают ограничения оптимизационной задачи, которые устанавливают приемлемые диапазоны изменений соответствующих показателей.

3. Выбор независимых переменных.

На третьем основном этапе постановки задачи оптимизации осуществляется выбор независимых переменных, которые должны адекватно описывать допустимые решения или условия функционирования системы. В процессе выбора независимых переменных следует принять во внимание ряд важных обстоятельств, которые рассматриваются ниже.

Во-первых, необходимо провести различие между переменными, значения которых могут изменяться в достаточно широком диапазоне, и переменными, значения которых фиксированы и определяются внешними факторами.

Далее важно провести различие между теми параметрами системы, которые могут предполагаться постоянными, и параметрами, которые подвержены изменениям вследствие воздействия внешних или неконтролируемых факторов. В частности, в например внезапное увольнение нескольких сотрудников может оказать существенное влияние на функционирование всей службы.

Во-вторых, при постановке задачи следует учитывать все основные переменные, которые влияют на функционирование системы или качество решения. Исключение возможных альтернатив в общем случае приводит к получению неоптимальных решений.

Наконец, еще одним существенным фактором, влияющим на выбор переменных, является уровень детализации при исследовании системы. Очень важно ввести в рассмотрение все основные независимые переменные, но не менее важно не “перегружать” задачу большим количеством мелких, несущественных деталей. При выборе независимых переменных целесообразно руководствоваться правилом, согласно которому следует рассматривать только те переменные, которые оказывают существенное влияние на характеристический критерий, выбранный для анализа сложной системы.

4. Построение модели системы

После того как характеристический критерий и независимые переменные выбраны, на следующем этапе постановки задачи необходимо построить модель, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на степень достижения цели, определяемой характеристическим критерием. В принципе оптимизационное исследование можно провести на основе непосредственного экспериментирования с системой. Однако на практике оптимизационные исследования проводятся, как правило, на основе упрощенного математического представления системы, которое носит название модели.

Применение моделей обусловлено:

эксперименты с реальными системами обычно требуют слишком больших затрат средств и времени или вообще невозможны;

в ряде случаев оказываются связанными с риском.

Поскольку требования, предъявляемые к оптимизационным задачам, являются весьма общими и носят абстрактный характер, область приложения методов оптимизации может быть достаточно широкой. Действительно, рассматриваемые ниже методы находят применение при решении самых различных проблем, включая задачи оптимального проектирования структурных элементов систем и процессов, планирования стратегий капитальных вложений, определения оптимальных маршрутов движения транспорта, планирования в правоохранительной области, дислокации вооруженных сил, проектирования механических узлов и ряд других задач.