Модуль 4. Основы интегрального исчисления.

Теоретические занятия (лекции) – 4 часа.

Лекция 9. (Информационная лекция с использованием средств мультимедиа).

Функции нескольких переменных. Функции нескольких переменных, их непрерывность. Частные производные функции нескольких переменных первого порядка. Градиент.

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования (непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям).

Понятие функции нескольких переменных

Опр. Пусть каждой точке М из множества точек некоторогоm-мерного евклидового пространством по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое числоu из числового множества U. Тогда будем говорить, что на множестве задана функция. Множествоназывается областью определения функции, множествоU множеством значений функции.

Функция от m переменных

Предел и непрерывность функции двух переменных

Окрестностью радиуса r точки называется множество всех точек , удовлетворяющих неравенству , т. е. множество всех точек, лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке .

Число A называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для каждого числа найдется такое число , что для всех точек , для которых выполняется неравенство , имеет место неравенство . Предел функции двух переменных обозначают: или ^.

Как правило, вычисление пределов функции двух переменных оказывается гораздо более трудной задачей, чем вычисление пределов одной переменной.

Функция называется непрерывной в точке , если:

1. если она определена в точке _;

2. имеет конечный предел при ;

3. этот предел равен значению функции в точке _, т.е.

(причем точка стремится к точке произвольным образом, оставаясь в области определения функции).

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Частные производные функции двух переменных

Пусть определена на области D. Будем считать аргумент y постоянным и рассмотрим получающуюся при этом функцию одной переменной x. Придадим переменной x приращение . Приращение вызовет приращение функции . Конечный предел (если он существует), отношения приращения функции к приращению аргумента , при , называется частной производной по x и обозначается или т. е.

.

Если считать аргумент х постоянным и рассматривать функцию z = f(x, y) как функцию одной переменной у, то приращение вызовет приращение функции . Конечный предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента при называется частной производной по y и обозначается , т. е.

.

Для обозначения частных производных также используют символы:

.

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

;

;

;

.

Причем , если производные непрерывны. Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке М, имеющий своими координатами значения частных производных функции z в точке М, т. е.

Для обозначения градиента часто используют символ . Направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке.