Производные основных элементарных функций

Производная логарифмической функции .

;

.

Производная показательной функции .

.

Заметим, что кривая , называемая экспонентой, обладает присущим только ей свойством: в каждой точкеx ордината кривой равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к кривой в этой точке.

Производная показательной функции .

.

Производная степенной функции .

.

Производная степенно-показательной функции .

Что бы найти производную от степенно-показательной функции, достаточно продифференцировать ее сначала как степенную, затем как показательную и полученные результаты сложить.

Производная тригонометрических функций.

.

.

.

.

.

.

Лекция 8. (Информационная лекция с использованием средств мультимедиа).

Применение производной в исследовании функции.

Исследование функций и построение графиков. Признак монотонности функции. Понятие экстремумов, необходимые и достаточные условия экстремумов. Выпуклость функции. Точки перегиба графиков функций. Асимптоты функции, их виды и нахождение. Схема исследования функции и построение ее графика. Приложения экономической теории (предельные показатели в микроэкономике, максимизация прибыли, закон убывающей эффективности производства).

Теорема (достаточное условие возрастания (убывания) функции). Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то она убывает на этом промежутке.

• Опр. Точка x₀ называется точкой максимума функции f(х), если в некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство f(х) <f(x₀).

• Опр. Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство f(х) >f(x₀ ).

Необходимое условие экстремума.

Для того чтобы функция у = f(x) имела экстремум в точке x₀ необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (f'(x₀ ) = 0) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими (или стационарными).

Теорема. Если при переходе через точку х₀ производная дифференцируемой функции у = f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х₀ есть точка максимума функции у = f(x), а если с минуса на плюс, то точка х₀ есть точка минимума.

Схема исследования функции у=f(x) на экстремум

1°. Находим производную у' = f'(x).

2°. Находим критические точки функции, в которых производная f'(х)= 0 или не существует.

3°. Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки и делаем вывод о наличии экстремумов функции.

4°. Находим экстремумы (экстремальные значения) функции.

Теорема. Если первая производная f'(x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х₀, а вторая производная в этой точке f"(х₀) положительна, то х₀ есть точка минимума функции f(x); если f"(х₀) отрицательна, то х₀ — точка максимума.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке и интервале

Согласно теореме Вейерштрасса, если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее или наименьшее значение функции может достигаться как в точках экстремума, так и в точках на концах отрезка.

Схема отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке

1°. Находим производную f'(x).

2°. Определяем критические точки функции, в которых f'(x) = О или не существует.

3°. Находим значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбираем из них наибольшее и наименьшее.

Замечание. Если функция у = f(x) непрерывна на интервале (а, b), то она может не принимать на нем наибольшее и наименьшее значения.

В частном случае, если дифференцируемая функция на интервале (а, b) имеет лишь одну точку максимума (или одну точку минимума), то наибольшее (или наименьшее) значение функции совпадает с максимумом (или минимумом) этой функции.

Выпуклость функции. Точки перегиба

Опр. 1. Функция у = f(x) называется выпуклой вниз на промежутке X, если для любых двух значений из этого промежутка выполняется неравенство:

Опр. 2. Функция называется выпуклой вверх на промежутке X, если для любых двух значений из этого промежутка выполняется неравенство

Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Опр. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Точки перегиба — это точки экстремума первой производной.

Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х₀ равна нулю, т.е. f"(x)= 0.

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная f"(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х₀ меняет свой знак, то х₀ есть точка перегиба ее графика.

Схема исследования функции на выпуклость и наличие точек перегиба

1. Находим вторую производную функции f"(x).

2. Находим точки, в которых вторая производная f"(х)=0 или не существует.

3. Исследуем знак второй производной слева и справа от найденных точек и делаем вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Находим значения функции в точках перегиба.

Асимптоты функции

Асимптотой графика функции у =f(х) называется прямая, обладающая таким свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат

Теорема 1. Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции слева или справа равен бесконечности. Тогда прямая х = х₀ является вертикальной асимптотой графика функции у=f(x).

Теорема 2. Пусть функция у=f(х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции у = f(x).

Теорема 3. Пусть функция у = f(x) определена при достаточно больших х, и существуют ее конечные пределы , .Тогда прямая у = kx +b является наклонной асимптотой графика функции у = f(x).

Общий план исследования функций

Исследование функций состоит в нахождении:

1) области определения функции;

2) четности( нечетности) функции;

3) точек разрыва функции, вертикальных асимптот;

4) горизонтальных и наклонных асимптот;

5) интервалов монотонности функции, точек максимума и минимума;

6) интервалов выпуклости функции, точек перегиба;

7) точек пересечения с осями, дополнительных точек.

Практические занятия – 14 часов.

Занятие 11. Множества. Элементарные функции, их свойства и графики.

Форма проведения занятия – краткое обсуждение теоретического материала, решение задач как совместное, так и индивидуальное.

Отрабатываемые вопросы:

1. Понятие множества. Отношения между множествами.

2. Операции над множествами.

3. Числовые множества, их свойства.

4. Нахождение области определения и функции.

5. Исследование элементарных функций.

Занятие 12. Предел функции. Замечательные пределы.

Форма проведения занятий – проверка домашнего задания, разбор примеров решения задач по новой теме, решение задач.

Отрабатываемые вопросы.

1. Предел функции в бесконечности и в точке и его нахождение.

2. Раскрытие основных видов неопределенностей.

3. Замечательные пределы.

Занятие 13. Непрерывность функции.

Форма проведения занятий – проверка домашнего задания, проведение самостоятельной работы по теме «Предел функции», обсуждение нового теоретического материала, решение задач.

Отрабатываемые вопросы.

1. Понятие непрерывности функции.

2. Классификация точек разрыва.

3. Нахождение точек разрыва функций и их типов.

Занятие 14. Производная и ее вычисление. Геометрические и экономические приложения производной.

Форма проведения занятия – проверка домашнего задания, краткое обсуждение теоретического материала, решение задач.

Отрабатываемые вопросы:

1. Таблица производных основных элементарных функций

2. Производная суммы, произведения, частного.

3. Производная сложной функции.

4. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.

5. Эластичность функции и ее экономический смысл.

Занятие 15. Исследование функции с помощью производной. Асимптоты.

Форма проведения занятия – проверка домашнего задания, проведение диктанта по таблице производных, краткое обсуждение теоретического материала, решение задач.

Отрабатываемые вопросы:

1. Интервалы монотонности и экстремумы функции.

2. Интервалы выпуклости функции. Точки перегиба.

3. Асимптоты и их нахождение.

Занятие 16. Построение графика функции.

Форма проведения занятия – проверка домашнего задания, проведение самостоятельной работы по теме «Производная: вычисление и применение к исследованию функции», обсуждение нового теоретического материала, решение задач.

Отрабатываемые вопросы.

1. Свойства функций.

2. Схема исследования функции.

3. Построение графика функции.

Занятие 17. Контрольная работа № 2 по теме «Основы дифференциального исчисления».

Форма проведения занятия – проверка домашнего задания, проведение контрольной работы № 2 по теме «Основы дифференциального исчисления».

Управление самостоятельной работой студента.

Консультации, опрос по теоретическому материалу, проведение диктанта по таблице производных, проверка и разбор домашней работы, а также результатов самостоятельных и контрольной работы (см. подробнее в Приложении 3).