Геометрический смысл производной

Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.

Опр. Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей МN, когда точка N стремится к точке М по кривой.

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку , имеет вид

Угловой коэффициент секущей равен

Тогда угловой коэффициент касательной равен

Отсюда следует наглядный вывод о том, что . В этом и состоитгеометрический смысл производной.

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:.

Физический смысл производной

В определенном смысле производную функции можно также трактовать как скорость изменения функции: чем больше величина, тем больше угол наклона касательной к кривой, тем круче графики быстрее растет (убывает) функция.

Задача о производительности труда

Пусть функция выражает количество произведенной продукцииu за время t, и необходимо найти производительность труда в момент времени .

За период времени от доколичество произведенной продукции изменится от значениядо значения, тогда средняя производительность труда за этот период времени составит. Очевидно, производительность труда в момент времениможно определить как предельное значение средней производительности за период времени отдопри, т.е..

По аналогии с понятиями односторонних пределов функции вводятся понятия правой и левой производных функции в точке

Опр. Правой (левой) производной функции в точкеназывается правый (левый) предел отношения(), если он существует.

Если функция имеет в точке производную, то она имеет левую и правую производную в это точке, и они совпадают.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке устанавливает следующая теорема.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.

Требование дифференцируемости функции является более сильным, чем требование непрерывности.

Правила дифференцирования.

Схема вычисления производной:

1. Даем аргументу x приращение и находим приращенное значение функции

2. Находим приращение функции .

3. Составляем отношение .

4. Находим предел этого отношения при , т.е.(если этот предел существует).

Правила дифференцирования.

1. Производная постоянной равна нулю

.

2. Производная аргумента равна единице.

.

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций.

.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

.

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например

.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

Производная сложной и обратной функции

Теорема. Пусть функция имеет производную в точке, функцияимеет производную в точке. Тогда сложная функцияимеет производную в точкеи справедлива следующая формула:.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции

Эта формула имеет простой геометрический смысл. Если выражает тангенс угла наклона касательной к кривойк оси Оx, то - тангенс угланаклона той же касательной к осиOy, причем .