Два замечательных предела

Теорема (первый замечательный предел). Предел функции в точкеx=0 существует и равен единице, т.е .

Теорема (второй замечательный предел). Предел функции приx стремящемся к бесконечности существует и равен е, т.е.

Лекция 7. (Информационная лекция с использованием средств мультимедиа).

Непрерывность функции. Производная и ее вычисление.

Непрерывность функции в точке. Непрерывность элементарных функций. Глобальные свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва функций.

Понятие производной, ее геометрический, физический смысл. Правая и левая производные. Уравнение касательной к графику функции в данной точке. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного. Таблица производных основных элементарных функций. Дифференцирование сложной функции.

Понятие непрерывности функции является фундаментальным в математическом анализе.

Опр. Функция называется непрерывной в точке а, если:

1. она определена в точке а;

2. имеет конечный предел при ;

3. предел этой функции в точке а и ее значение в этой точке равны, т.е. .

Опр. Функция называется непрерывной справа (слева) в точке а, если правый (левый) предел этой функции в точке а и ее значение в этой точке равны, т.е.,.

Если функция непрерывна в точке а и слева, и справа, то она непрерывна в этой точке.

Точки, в которых функция не является непрерывной называются точками разрыва.

Теорема. Пусть функции инепрерывны в точке а. Тогда функции,,также непрерывны в точке а (частное при условии.

Непрерывность функций на интервале и отрезке

Говорят, что функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функциянепрерывна на отрезке, если она непрерывна на интервалеи непрерывна в точке а справа, а в точкеb слева: ,.

Классификация точек разрыва функций

1. Устранимый разрыв.

Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если предел функции в этой точке существует, но в точке а функциялибо не определена, либо ее значениене равно пределу в этой точке

2. Разрыв первого рода.

Точка а называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

3. Разрыв второго рода.

Точка а называется точкой разрыва второго рода функции Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1. Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса)

2. Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M (вторая теорема Вейерштрасса).

3. Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и значения ее на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется такая точка , что(теорема Больцано-Коши).

Определение производной

Пусть функция определена на некотором промежутке Х. Придадим значению аргумента в точке произвольное приращение так, чтобы точка также принадлежала Х. Тогда соответствующее приращение функции составит .

Опр. Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при(если этот предел существует).

Если в некоторой точке предел бесконечен, то говорят, что в этой точке функция имеет бесконечную производную. Если функция имеет производную в каждой точке множества Х, то производная также является функцией от аргумента х, определенной на Х.