Пример использования функций в экономике.

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные пе­риоды времени.

Наряду с линейными используются нелинейные функции: дробно-рациональные, степенные (квадратичная, кубическая и т.д.). показательные (экспоненциальные), логарифмические и др. Периодичность, колеблемость ряда экономических процессов позволяет также применять тригонометрические функции.

Наиболее часто в экономике используются следующие функции.

• Функция полезности (функция предпочтений) — в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

• Производственная функция — зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

• Функция выпуска (частный вид производственной функции) — зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

• Функция издержек (частный вид производственной функции) — зависимость издержек производства от объема выпуска продукции.

• Функции спроса, потребления, предложения — зависимость объема спроса, потребления, предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.)

Предел функции в бесконечности и точке

С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменная n, возрастая, принимает лишь натуральные значения, то во втором случае переменная x, изменяясь, принимает любые значения.

Опр. Число А называется пределом функции приx, стремящемся к бесконечности, если для любого существует такое положительное числоS (зависящее только от ), что при всехвыполняется неравенство

.

Пусть функция задана в окрестности точкиа, кроме, быть может, самой точки а.

Опр. Число А называется пределом функции приx, стремящемся к а, если для любого существует такое положительное число(зависящее только от), что при всехx, не равных а и удовлетворяющих условию выполняется неравенство

.

Замечание 1. Определение предела не требует существования функции в самой точке а.

Замечание 2. Если при стремлении x к а переменная x принимает лишь значения, меньшие а, или, наоборот, большие а, и при этом функция стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева и справа.

Функция имеет в точке а предел тогда и только тогда, когда в этой точке существует левый и правый предел и они равны. В таком случае предел функции равен односторонним пределам.

Теоремы о пределах функций

Пусть и- функции, для которых существуют пределы при:,.

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций.

3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций. В частности постоянный множитель можно выносить за знак предела.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю).

Теорема. Пусть функции определены в некоторой окрестности точки а, за исключением быть может самой точки а, и функцииимеют в этой точке предел, равный А,. Кроме того, пусть выполнены неравенства:. Тогда