6. Закон повного струму для магнітного поля у вакуумі

Магнітне поле, на відміну від електростатичного, не є потенціальним: циркуляція вектора вздовж замкненого контура, загалом кажучи, не дорівнює нулеві і залежить від вибору контура.

Розгляньмо, як приклад, поле нескінченного прямолінійного провідника зі струмом , розташованого у вакуумі.

Магнітними силовими лініями у даному випадку будуть концентричні кола, що лежать у площині, перпендикулярній до струму. Знайдемо циркуляцію вектора вздовж довільної силової лінії радіуса:

. (5.33)

У всіх точках лінії модуль вектора дорівнює:

, (5.34)

а напрямлений вектор уздовж дотичної до цієї лінії, тобто. Отже,

. (5.35)

З (5.35) можна зробити два висновки:

1) магнітне поле прямолінійного струму – вихрове поле, оскільки в ньому циркуляція вектора вздовж лінії магнітної індукції не дорівнює нулеві;

2) циркуляція вектора поля прямолінійного струму у вакуумі є однією й тією самою вздовж усіх ліній магнітної індукції і дорівнює добуткові магнітної сталої на силу струму.

Формула (5.35) справджується для замкненого контура довільної форми, що охоплює нескінченно довгий прямолінійний провідник зі струмом.

Доведімо, що формула (5.35) справджується для замкненого контура L довільної форми, що охоплює нескінченно довгий прямолінійний провідник зі струмом I (рис. 5.14).

У точці А контура L вектор перпендикулярний до радіус-вектора. Тому можнавважати, що проекціяна напрям, яка дорівнює, збігається з малою дугою кола радіуса, тобто

, (5.36)

де − центральний кут, під яким елементконтураL видно з центра кола. З (5.34) і (5.36) випливає:

. (5.37)

Інтегруючи вздовж усього замкненого контура L і вважаючи, що при цьому кут змінюється від нуля до, дістанемо:

.

Отже, формула (5.35) справджується для будь-якого замкненого контура, що охоплює провідник, незалежно від форми цього контура.

Якщо замкнений контур не охоплює провідник, то циркуляція вектора магнітної індукції поля прямолінійного провідника зі струмом уздовж контура дорівнює нулеві.

Можна довести, що співвідношення (5.35) для магнітного поля у вакуумі універсальне. Воно справджується для магнітного поля провідника зі струмом будь-якої форми і розмірів, а не тільки для поля нескінченного прямолінійного провідника зі струмом.

У загальному випадку магнітне поле може створювати система з провідників із струмами. Якщо− індукція магнітного поля у вакуумі одногоi-го провідника зі струмом , то, згідно з принципом суперпозиції:

.

Циркуляція вектора вздовж довільного замкненого контураL, проведеного в полі, дорівнює:

.

Відповідно з (5.35)

Отже,

, (5.38)

де − кількість провідників із струмом, охоплених контуромL , а індекс підсумовування i замінений на k для того, щоб показати, що в суму, яка стоїть в (5.38), входять тільки ті струми, що охоплені контуром L. Рівняння (5.38) є математичним виразом закону повного струму для магнітного поля у вакуумі:

Циркуляція вектора магнітної індукції поля у вакуумі вздовж довільного замкненого контура L дорівнює добуткові магнітної сталої на алгебраїчну суму струмів, охоплених цим контуром (тобто на електричний струм через поверхню, натягнуту на цей контур).

Закон повного струму можна також записати у формі:

, (5.39)

де − густина струму в межах малого елементаповерхні, натягнутої на контурL, а вектор напрямлений по нормалі до площинкитак, що з його кінця обхід контураL здається таким, що відбувається проти руху годинникової стрілки.