Лекция 1. Вводные замечания План

1. Множества и их свойства

2. Понятия инфимума и супремума множества

3. Лемма о вложенных отрезках

4. Понятие покрытия множества. Лемма Бореля

1. Множества и их свойства

Понятие множества принадлежит к фундаментальным понятиям математики, строгого определения которого не существует до этого момента. Следствием этого является наличие парадоксов и противоречий в теории множеств.

Определение 1 (по Кантору).Множество S – это любая совокупность определенных объектов произвольной природы нашей интуиции или интеллекта, которые различаются между собой, рассматриваемая как единое целое. Эти объекты будем называть элементами или членами множества S. Элементы множеств обозначают строчными буквами, сами множества - большими.

Если является (не является) элементом множества , то пишут:

.

Множества могут состоять из конечного или бесконечного количества элементов, тогда они называются соответственно конечными или бесконечными множествами. Количество элементов множества называется ее мощностью и обозначается . Для бесконечного множества : .

Примеры бесконечных множеств.

1. Множество натуральных чисел - - это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3, ....

2. Множество целых чисел - - это натуральные числа, им противоположные и нуль: ....., -2, -1, 0, 1, 2, .....

3. Множество рациональных чисел - - это числа, которые представляются в виде: , где , или в виде периодической десятичной дроби. Например, .

4. Множество иррациональных чисел - это числа, которые могут быть представлены в виде непериодической десятичной дроби, например, .

5. Множество действительных чисел - .

Множество полностью определяется своими элементами: чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать разными способами:

• Перечислением элементов - в этом случае все элементы берут в фигурные скобки и разделяют запятыми (так могут задаваться только конечные множества). Например, ;

• Характеристическим предикатом - характеристический предикат - это некоторое условие, которое позволяет проверить, принадлежит ли любой данный элемент множеству. Если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит множеству, а если нет, то - не принадлежит. Задание в виде характеристического предиката выглядит следующим образом: . Например, пусть - это множество четных натуральных чисел, тогда

.

Пусть - это множество действительных корней уравнения , это множество конечное, но его элементы пока что являются неизвестными. Определить такое множество тоже можно с помощью определения свойства его элементов:

.

Определение 2. Множества и будут равными (),если они состоят из одинаковых элементов, то есть можно доказать одновременно два условия:

1. Если элемент , то ;

2. Если элемент , то .

Определение 3. Говорят, что множество является подмножеством множества и обозначают:

или ,

если каждый элемент множества является одновременно элементом множества . Если множество содержит хотя бы один элемент, который не принадлежит , то - множество не является подмножеством множества .

Например, .

Пример. Пусть . Тогда:

.

Элементами множества могут быть другие множества, например, . Множество содержит 3 элемента: . Заметим, что для множества : , т.к. элементы - это , и, например, .

Среди множеств существует одно, которое по своим свойствам и составу принципиально отличается от всех других - это пустое множество, которое не содержит ни одного элемента и обозначается .

Для любого множества верно: , поскольку пустое множество не содержит таких элементов, которые бы не принадлежали .

Для сокращения записи и удобства в дальнейшем будем использовать два квантора:

- «любой», « для любого»;

- «существует», «найдется».