Математика,заочники_12_семестр

А. В. УСОВ, В. М. КУЗЬМІНА,

КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ №1, №2, №3, №4

ЗВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

ІМЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ЇХНЬОГО ВИКОНАННЯ

для студентів ІМБ та ІПТДМ заочної форми навчання

І, ІІ семестри

Одеса

2011

1

Міністерство освіти і науки, молоді і спорту України Одеський національний політехнічний університет

Контрольні роботи №1, №2, №3, №4

звищої математики

іметодичні вказівки до їхнього виконання

для студентів ІМБ та ІПТДМ заочної форми навчання

І, ІІ семестри

Затверджено на засіданні кафедри

вищої математики і моделювання систем Протокол № 1 від 29.08. 11

Одеса ОНПУ 2011

2

Контрольні роботи №1, №2, №3, №4 з вищої математики і методичні вказівки до їхнього виконання для студентів ІМБ та ІПТДМ заочної форми навчання 1, 2 семестру / Укл.: А.В. Усов, В.М. Кузьміна – Одеса: ОНПУ, 2011. – 47 c.

Укладачі: А.В. Усов, професор, В.М. Кузьміна, старший викладач

3

Передмова

У першому семестрі з дисципліни «Вища математика» планується виконання двох контрольних робіт з тем «Елементи векторної алгебри й аналітичної геометрії» та «Лінійна алгебра», у другому семестрі – двох контрольних робіт з тем «Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних» та «Інтегральне числення функцій однієї та багатьох змінних».

При виконанні й оформленні контрольної роботи студент повинен дотримуватися таких правил:

а) у заголовку контрольної роботи повинні бути записані прізвище студента, його ініціали, шифр, номер завдання, домашня адреса; б) контрольну роботу потрібно виконувати в окремому зошиті, залишаючи поля для зауважень рецензента;

в) розв’язання задач розташовувати в порядку номерів, зазначених у завданнях, виписуючи перед розв’язанням кожної задачі її умову; г) розв’язання усіх задач з аналітичної геометрії супроводжувати кресленнями, креслення можна виконувати від руки.

Контрольні роботи виконані без дотримання вказаних правил, повертаються студенту для переробки. Без пред'явлення екзаменатору прорецензованих контрольних робіт студент не допускається до складання іспиту. Одержавши прорецензовану, але не зараховану контрольну роботу, студент повинен виправити відзначені рецензентом помилки і недоліки і вислати виправлену роботу для повторного рецензування, приклавши прорецензовану роботу.

Кожна задача контрольних робіт складається з 30 варіантів. Студент повинен виконати варіант, номер якого визначається як остача від ділення на 30 трьох останніх цифр номера залікової книжки. Наприклад, номер залікової книжки студента 200085. Після ділення 085 на 30 одержуємо остачу 25. Отже, студент повинен виконати варіант 25 у всіх задачах. Студенти, шифр яких поділяється на 30 без остачі, виконують варіант № 30.

4

Програма дисципліни «Вища математика» (1, 2 семестри)

Елементи векторної алгебри й аналітичної геометрії

1.Прямокутна система координат у просторі. Вектори. Лінійні операції над векторами та їхні властивості. Проекція вектора на вісь. Напрямні косинуси і довжина вектора.

2.Скалярний та векторний добутки двох векторів, їхні властивості. Кут між векторами. Умова ортогональності двох векторів. Мішаний добуток трьох векторів, його властивості. Умова компланарності трьох векторів.

3.Рівняння прямої на площині. Кут між прямими. Відстань від точки до прямої.

4.Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола, парабола.

5.Рівняння площини і прямої в просторі. Кут між площинами. Кут між прямими. Кут між прямою і площиною. Відстань від точки до площини. Точка перетину прямої і площини.

Лінійна алгебра

6.Матриця. Дії над матрицями (множення на число, додавання, віднімання і множення матриць). Транспонування матриць.

7.Визначники квадратних матриць 2-го, 3-го та n-го порядків. Властивості визначників. Обернена матриця й алгоритм її обчислення.

8.Розв’язання системи n лінійних рівнянь з n невідомими: а) за формулами Крамера; б) за допомогою оберненої матриці; в) методом Гауса; г) методом Жордана – Гауса.

9.Теорема Кронекера – Капелі. Базисні та вільні змінні системи m лінійних рівнянь з n невідомими. Невизначеність такої системи. Базисні розв’язки та їхнє знаходження.

10.Власні значення і власні вектори матриці.

11.Квадратична форма. Дослідження квадратичної форми на знаковизначеність. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду методом ортогональних перетворень. Приведення рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду.

12.Комплексні числа. Модуль і аргумент комплексного числа. Дії над комплексними числами в алгебраїчній, показниковій та тригонометричній формах. Піднесення

комплексного числа до натурального степеня. Добування кореня з комплексного числа.

Вступ у математичний аналіз

13.Числова послідовність. Границя числової послідовності та критерій Коші її існування. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності. Основні теореми про границю послідовності. Монотонні послідовності.

14.Функція. Елементарні функції і їхні графіки. Перетворення графіків.

15.Границя функції в точці і на нескінченності. Основні теореми про границі. Ознаки існування границі. Перша та друга визначні границі, їх наслідки.

16.Неперервність функції. Класифікація точок розриву.

Диференціальне числення функцій однієї змінної

17. Похідна. Правила диференціювання. Похідна складної, оберненої, неявної та заданої параметрично функції. Геометричні і механічні застосування похідної. Рівняння дотичної до кривої.

18. Похідні вищих порядків. Основні теореми диференціального числення (теорема Ферма, Ролля і Лагранжа). Формула Тейлора. Правило Лопіталя.

19. Екстремум функції. Необхідна умова екстремуму. Перша і друга достатні умови екстремуму. Найбільше і найменше значення функції на відрізку.

20. Опуклість графіка функції. Точки перегину. Асимптоти графіка функції. Загальна схема дослідження функції і побудова графіка.

Диференціальне числення функцій багатьох змінних

21. Функція багатьох змінних. Частинні похідні. Диференційовність складної функції. Повна похідна. Геометричні застосування частинних похідних.

22. Диференціал функції багатьох змінних. Похідна за напрямком. Градієнт функції. Частинні похідні вищих порядків.

5

23. Екстремум функції багатьох змінних. Необхідна ознака екстремуму. Достатні умови екстремуму. Умовний екстремум функції багатьох змінних, метод множників Лагранжа.

24. Поняття про емпіричні формули. Метод найменших квадратів.

Інтегральне числення функцій однієї змінної

25. Первісна функція. Невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтеграла. Основні невизначені інтеграли. Основні методи інтегрування раціональних, ірраціональних і трансцендентних функцій.

26. Визначений інтеграл. Властивості визначеного інтеграла. Формула Ньютона - Лейбніца. Заміна змінної у визначеному інтегралі. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

27. Обчислення площі плоскої фігури, довжини дуги кривої та об’єму тіла обертання. 28. Невласні інтеграли першого та другого роду. Ознаки збіжності.

Інтегральне числення функцій багатьох змінних

29. Подвійний інтеграл. Властивості подвійного інтеграла. Обчислення подвійного інтеграла в прямокутних декартових координатах.

30. Заміна змінної у подвійному інтегралі. Обчислення подвійного інтеграла у полярних координатах. Застосування подвійного інтеграла для обчислення площ, мас та об’ємів.

31. Потрійний інтеграл. Властивості потрійного інтеграла. Обчислення потрійного інтеграла в прямокутних декартових координатах.

32. Заміна змінної у потрійному інтегралі. Обчислення потрійного інтеграла у циліндричних та сферичних координатах. Застосування потрійного інтеграла для обчислення об’ємів та мас.

6

Контрольна робота № 1.

Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії. Задача 1. Розкласти вектор X по векторах P, Q, R.

Задача 2. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах a , b

Задача 3. Задані координати точок A і B. Потрібно: 1) визначити відстань між даними точками; 2) знайти координати точки P – середини відрізка AB; 3) скласти рівняння прямої, що проходить через точки A і B; 4) скласти рівняння прямої L, що проходить через точку P перпендикулярно до прямої AB.

Задача 4. Задані координати точок A, B, C, D. Потрібно: 1) перевірити, що точки A, B, C і D не лежать в одній площині; 2) обчислити площу трикутника АВС та кут між сторонами

8

АВ та АС; 3)обчислити об'єм піраміди ABCD; 4) скласти рівняння площини ABC, звести його до нормального вигляду і знайти відстань від точки D до цієї площини.

Задача 5. Задані координати точки A та рівняння площин Р1 і Р2. Потрібно: 1) скласти канонічне рівняння лінії перетину площин; 2) скласти рівняння прямої, що проходить через точку A перпендикулярно до площини Р1; 3) скласти рівняння площини, що проходить через точку A паралельно площині Р2.