Свойства подмножеств

1. Для любого множества оно является своим подмножеством. С использованием введенных кванторов это свойство может быть записано следующим образом:

.

2. если , то .

3. если , то . Это свойство является условием равенства двух множеств.

4. если , то .

5. .

Необходимо различать отношения включения – отношение «быть подмножеством» (это отношения между множествами) и принадлежности (отношение между элементами и множеством). Перечисленные выше свойства не имеют места для отношения принадлежности. Например: . Отсюда не следует, что .

Любое непустое множество имеет всегда хотя бы 2 подмножества: . Если содержит элементов, то количество разных его подмножеств - .

Определение 4. Говорят, что между множествами и установлено взаимно-однозначное соответствие, если каждому элементу множества соответствует один и только один элемент множества В, и каждому элементу множества В соответствует один элемент множества А.

Определение 5. Мощностью конечного множества называется количество его элементов. Мощность бесконечного множества равна бесконечности. Обозначение: .

Если между множествами и может быть установлено взаимно-однозначное соответствие, то множества имеют одинаковую мощность и называются равномощными: .

Пример. Множество десятичных цифр равномощно множеству пальцев на руках человека, но не равномощно множеству пальцев на руках и ногах.

Пример. Множество четных натуральных чисел равномощно множеству всех натуральных чисел.

Операции над множествами

Объединение множеств – это множество

.

Определяется единственным образом.

Пересечение множеств – это множество

.

Для любых множеств имеем:

.

Два множества называются непересекающимися, если , и пересекающимися в противном случае.

Абсолютное дополнение (или просто дополнение) множества А – это

.

Относительное дополнение множества В до множества А (или разность А-В) – это

.

Симметрическая разность А и В: .

Свойства:

;

;

.

Свойства операций над множествами

Теорема 1. Пусть - универсальное множество, т.е. множество, которое для конкретной рассматриваемой задачи включает все остальные множества как подмножества. Для имеют место равенства:

1. Идемпотентность:

; ;

2. Коммутативность:

, ;

3. Ассоциативность:

, ;

4. Дистрибутивность:

, ;

5. , ;

6. , .

Свойства множеств в теореме 1 записываются парами. Равенство теории множеств, которое получается из другого равенства заменой всех операций на , на , на , на , называется двойственным к исходному.

Принцип двойственности: Если в теории множеств можно показать справедливость какого-то утверждения, то двойственное утверждение также будет иметь место.

Из теоремы 1 вытекает, что объединение и пересечение множеств А,В,С можно записывать без скобок: , .

Методом математической индукции можно доказать, что объединение и пересечение любого числа множеств можно записывать без скобок, т.е.

, - общие ассоциативные законы.

Имеют место общие коммутативные и дистрибутивные законы:

, где - любая перестановка чисел ;

.

Теорема 2. Пусть - универсальное множество. Для имеют место равенства ():

1. Если для всех А . Если для всех А .

2. Если и , то .

3. ;

4. , ;

5. Законы поглощения:

, ;

6. Законы де-Моргана:

, .

Теорема 3. Утверждения , , эквивалентны для любых множеств А и В.