Раздел 2 Методы построения и формы представление аналитических математических моделей

Тема 2.1 Методика создания концептуальных аналитических моделей

§ 2. 1. 1 Методика создания математических моделей на микро уровне

Учебные элементы параграфа:

1. Микро, макро и мета уровни для концептуальных ММ.

2. Система координат для фазовых переменных.

3. Законы сохранения: массы, энергии, количества движения.

4. Модель с сосредоточенными параметрами.

В зависимости от места в иерархии описаний мм делятся, как относящиеся к микро, макро, и мета - уровням.

Особенностью ММ на микро уровнеявляется отражение физических процессов, протекающих в непрерывном пространстве и времени. Типичные ММ на микро уровне — дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП). В них независимыми переменными являются пространственные координаты(x,y,z) и времяt.

ДУЧП представляют собой математическое выражение законов сохранения субстанции (вещества, энергии, количества движения):

( 2.1)

В этом выражении: І — количество субстанции, аккумулируемое в единице объёма (единиц).

Если V = dx∙dy∙dz, то V І — объёмная концентрация;

—вектор переноса субстанции через поверхность, окружающую выделенный объём, ;

m_i — мощность источника субстанции, если он находится внутри выделенного объёма — .

Уравнения сохранения могут быть записаны в двух фундаментально различных системах координат. Одна из них называется системой координат Лагранжа. В этой системе начало координат тесно связано с конкретной материальной частью субстанции (тело, система). При этой материальной системе перемещается и система координат, а наблюдение сосредоточено за движением материальной системы (рис. 2.1а).

Другая система координат называется системой координат Эйлера (рис 2.1б). Эта система координат фиксирована в пространстве. В данном случае, чтобы описать движение материальной субстанции фиксируется объём пространства, в который попадает и который затем покидает субстанция, т.е. в координатах Лагранжа фиксируют материальную систему, а в координатах Эйлера — объём.

В статике, когда субстанция не движется, эти системы координат совпадают.

Рис. 2.1 Система координат Лагранжа (а) и Эйлера (б)

Общее выражение для закона сохранения (1.5) записано для системы координат Эйлера.

Учитывая, что дивергенция вектора:

, (2.2)

а вектор переноса субстанции , называемый также потоком субстанции, в общем случае содержит две составляющие: конвективнуюи кондуктивную (диффузионную) (Δ), т.е., можно получить для каждой субстанции дифференциальное уравнение в частных производных ( — скорость,м / с).

Например, для закона сохранения массы вещества:

Ι = ρ [кг / м ^-3],а кондуктивная составляющая определяется законом Фика.

Δ= -D∙ grad C(2.3)

где: D — коэффициент диффузии, [м² / с];

С — концентрация, [кг / м ^–3 ] (С  ρ).

Если внутри объёма нет источников, генерирующих массу, то уравнение (2.1) записывается в следующем виде:

(2.4)

Это дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка.

Для закона сохранения энергии:

Ι = ρ∙е,

где: е — удельная энергия единицы массы вещества [Дж / кг]

= ρ∙е∙+Δ, [Вт / м²] (2. 5)

По закону Фурье:

Δ=— ∙grad T (2. 6)

тогда уравнение сохранения энергии запишется в виде:

(2.7)

При  = const , ρ = const , e = c∙T ,

где: с — удельная теплоёмкость [Дж / кг ∙ град] получается уравнение переноса тепла Фурье — Кирхгофа:

(2.8)

В случае если тепло переносится в неподвижной среде  = 0 и рассматривается перенос тепла только по координате х, получаем уравнение теплопроводности (Фурье) через плоскую стенку:

(2.9)

где: — коэффициент температуропроводности, -м²/с

Для закона сохранения количества движения (баланс сил в потоке):

Ι = ρ∙ω [кг∙м^-3 ∙ м∙с^-1], по аналогии

Δ= — ν ∙grad ω (2.10)

Поскольку  вектор, необходимо записать уравнение для каждой координаты. Например, для координаты x при постоянной плотности ρ, где g – ускорение силы тяжести, а dp/ dx – градиент давления по координате x, ν – коэффициент кинематической вязкости - м²/с

(2.11)

Два других уравнения по координатам y, z получаются, если заменить соответствующие индексы в уравнении для координаты x .

Уравнения 2.4, 2.8, 2.11 нужно дополнить уравнением состояния

Pυ =RT(2.12)

и краевыми условиями.

Краевые условия включают в себя пространственное распределение параметров (скорости, температуры, давления) в начальный момент времени (начальные условия) и законы взаимодействия между объектом и окружающей средой (граничные условия). Граничные условия представляют собой функции распределения параметров на границе и задаются несколькими способами.

Например, для параметра Т различают граничные условия первого рода:

T_s= T(x, y, z, t);

Граничные условия второго рода задаются функцией для теплового потока Q, а граничные условия третьего рода связывают температуру на границе с температурой окружающей среды через заданное значение коэффициента теплоотдачи α.

Общее аналитическое математическое описание фиксированного объёма можно записать в таком виде как систему уравнений:

(2.13)

Это математическая модель объекта (определенного объема) на микро уровне. В уравнениях (2.12) есть переменная, _P которая называется тензор давления в фиксированном объёме. Поясним значение этого понятия. Из математики известно понятие скаляр — величина, полностью характеризуемая своим численным значением в выбранной системе единиц (температура, плотность и т.п.).

Есть и другое определение: скаляр — это тензор нулевого ранга 3⁰ = 1.

Вектор — величина, характеризуемая в пространстве тремя величинами (три проекции на оси координат или модуль и два угла по отношению к осям координат).

Вектор — это тензор первого ранга 3¹ = 3.

Тензор (лат. tendo — напрягаю, растягиваю) обобщенное понятие вектора.

где: — орты;

P_X , P_Y , P_Z — векторы, составляющие тензор по 3-м координатам.

Так как каждый вектор характеризуется тремя величинами, то тензор описывается уже 9-тью величинами, т.е. это тензор 2-го ранга 3² = 9.

—матрица 3х3

Обращает внимание аналогия коэффициента теплопроводности с коэффициентом диффузии и кинематической вязкости.

На макро уровне используется укрупнённая дискретизация пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для этого приходиться вводить определенные допущения. Например, если допустить, что параметры по координатам y,z меняются мало (их производные близки к нулю), плотность среды изменяется только во времени, диффузии нет (D=0), то в этом случае математическое описание носит название — модель с сосредоточенными параметрами.

Например, покажем, как можно преобразовать исходное уравнение сохранения массы вещества на микро уровне к модели с сосредоточенными параметрами.

при постоянной плотности по координате

Частную производную по скорости заменим через конечные разности:

, где l длина сосредоточенного объема

Умножим обе части выражения на длину и сечение сосредоточенного объема sl=V.

, где M массовый расход среды.

Таким образом, ДУЧП преобразовано в ОДУ.

, накопление массы в сосредоточенном объеме равно приходу среды минус расход. Аналогично преобразуется уравнение энергии. Уравнение сохранения количества движения не используется, так как в сосредоточенном объеме скорость среды постоянна.

На мета уровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности объектов. Для многих ММ на мета уровне может представляться также системой ОДУ. Однако так как в этих моделях не описываются внутренние для элементов фазовые переменные, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям элементов, то укрупнение элементов на мета уровне означает получение ММ приемлемой размерности для существенно более сложных объектов, чем на макро уровне.

Важный класс ММ на мета уровне составляют модели объектов массового обслуживания, применяемые для описания процессов функционирования информационных и вычислительных систем, которые представляются в форме алгоритма.

Структурные модели также делятся на модели различных иерархических уровней. При этом на низших иерархических уровнях преобладает использование геометрических моделей; на высших иерархических уровнях используются топологические модели.

Иерархию моделей можно представить следующей схемой (рис. 2.2).

Метауровень

Макроуровень