- •Частина 2
- •Одеса 2010 Раздел 1. Основы моделирования систем
- •Тема 1.1. Модели и моделирование
- •§ 1. 1. 2. Модель как многоместное отношение
- •§ 1.1.3. Классификация моделей
- •§ 1.1. 4. Объекты моделирования и их классификация
- •Сколько методов исследования объектов применяется в практике специалистов по автоматизации?
- •Раздел 1
- •Тема 2 Математическое моделирование
- •§ 1.2.1. Основные понятия математического моделирования
- •§ 1.2.2. Классификация математических моделей
- •Тема 1. 3 Обеспечение процедуры математического моделирования
- •Раздел 2 Методы построения и формы представление аналитических математических моделей
- •Тема 2.1 Методика создания концептуальных аналитических моделей
- •§ 2. 1. 1 Методика создания математических моделей на микро уровне
- •В зависимости от места в иерархии описаний мм делятся, как относящиеся к микро, макро, и мета - уровням.
- •Микроуровень
- •Раздел 2 Методы построения и формы представление аналитических математических моделей
- •Тема 2.1 Методика создания концептуальных аналитических моделей
- •§ 2. 1. 1 Методика создания математических моделей на микро уровне
- •В зависимости от места в иерархии описаний мм делятся, как относящиеся к микро, макро, и мета - уровням.
- •Микроуровень
- •Раздел 2 Методы построения и формы представление аналитических математических моделей
- •Тема 2.2 Формальный метод построения математических моделей на макроуровне.
- •§ 2.2.2. Описание связей между элементами одной природы
- •§ 2.2.3. Описание связи между подсистемами разной природы
- •Тема 2.3. Представление математических моделей на макро уровне
- •Ее эквивалентная схема (б)
- •§ 2.3.3. Реализация аналитических математических моделей на эвм
Микроуровень
Рис.2.2 Иерархия математических моделей
Процесс преобразований ММ относящихся к различным иерархическим уровням, для реализации на ЭВМ иллюстрирует рис. 2.3
Рис. 2.3 Преобразование математических моделей
Ветви 1 на рисунке соответствует постановка задачи, относящиеся к микро уровню, как краевой, чаще всего в виде ДУЧП. Численные методы решения ДУЧП основаны на дискретизации переменных и алгебраизации задачи. Дискретизация заключается в замене непрерывных переменных конечным множеством их значений в заданных для исследования пространственном и временном интервалах; алгебраизация — в замене произвольных алгебраическими соотношениями.
Если ДУЧП стационарное (т.е. описывает статические состояния), то дискретизация и алгебраизация преобразует ДУЧП в систему алгебраических уравнений, в общем случае нелинейных (ветвь 2).
Если ДУЧП нестационарное (т.е. описывает изменяющиеся во времени и пространстве поля переменных), то дискретизацию и алгебраизацию можно представить состоящей из 2-х этапов:
1). устранение производных по пространственным координатам (ветвь 3), результат — система ОДУ;
2). устранение производных по времени (ветвь 4).
Сведение задачи решения алгебраических уравнений к последовательности элементарных операций может либо непосредственным (ветвь 5), либо через посредство предварительной линеаризации уравнений (ветвь 6), что приводит к системе линейных алгебраических уравнений.
Ветвь 8 на рис. 2.3 соответствует преобразование исходного описания задачи, относящегося к макро уровню, в систему ОДУ с известными начальными условиями. Если это система нелинейных ОДУ, то дальнейшие преобразования происходят по охарактеризованным выше ветвям 4, 6, 7 или 4, 5; если же система линейных ОДУ, то целесообразно непосредственный переход к системе СЛАУ (ветвь 9).
Для анализа объектов на мета уровне применяют либо переход к системам логических уравнений, системам массового обслуживания и т.д.
Сказанное показывает какое важное значение, отводится в математическом обеспечении моделирования численным методам решения систем различных уравнений.
Пример составления модели на макро уровне
В бак цилиндрической формы с площадью поперечного сечения F= 2 м2, поступает вода с постоянной плотностью = 1000 кг/м3. Вода из бака удаляется насосом, т.е. сток воды из бака постоянный. Составить модель объекта по каналу "расход на притоке – уровень". Мпр = 0.5 кг/с, Мст = 0.4 кг/с,
Это модель интегрального звена так как передаточная функция гдеK=1/2000.
Если расход на стоке пропорционален уровню Мст = ah, то модель будет такой:
, это ОДУ первого порядка (инерционное звено первого порядка).
Более подробно моделирование ТОУ будет рассматриваться в дисциплине "Идентификация и моделирование объектов управления", которая изучается в первом семестре 4 курса.
Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:
1. На какие уровни по иерархии подразделяются концептуальные ММ?
2. В какой форме представляют математические модели на макро, микро и мета- уровне?
3. Какие системы координат используются для записи закона сохранения? Чем они отличаются?
4. Какие составляющие входят в выражение законов сохранения субстанции?