Микроуровень

Рис.2.2 Иерархия математических моделей

Процесс преобразований ММ относящихся к различным иерархическим уровням, для реализации на ЭВМ иллюстрирует рис. 2.3

Рис. 2.3 Преобразование математических моделей

Ветви 1 на рисунке соответствует постановка задачи, относящиеся к микро уровню, как краевой, чаще всего в виде ДУЧП. Численные методы решения ДУЧП основаны на дискретизации переменных и алгебраизации задачи. Дискретизация заключается в замене непрерывных переменных конечным множеством их значений в заданных для исследования пространственном и временном интервалах; алгебраизация — в замене произвольных алгебраическими соотношениями.

Если ДУЧП стационарное (т.е. описывает статические состояния), то дискретизация и алгебраизация преобразует ДУЧП в систему алгебраических уравнений, в общем случае нелинейных (ветвь 2).

Если ДУЧП нестационарное (т.е. описывает изменяющиеся во времени и пространстве поля переменных), то дискретизацию и алгебраизацию можно представить состоящей из 2-х этапов:

1). устранение производных по пространственным координатам (ветвь 3), результат — система ОДУ;

2). устранение производных по времени (ветвь 4).

Сведение задачи решения алгебраических уравнений к последовательности элементарных операций может либо непосредственным (ветвь 5), либо через посредство предварительной линеаризации уравнений (ветвь 6), что приводит к системе линейных алгебраических уравнений.

Ветвь 8 на рис. 2.3 соответствует преобразование исходного описания задачи, относящегося к макро уровню, в систему ОДУ с известными начальными условиями. Если это система нелинейных ОДУ, то дальнейшие преобразования происходят по охарактеризованным выше ветвям 4, 6, 7 или 4, 5; если же система линейных ОДУ, то целесообразно непосредственный переход к системе СЛАУ (ветвь 9).

Для анализа объектов на мета уровне применяют либо переход к системам логических уравнений, системам массового обслуживания и т.д.

Сказанное показывает какое важное значение, отводится в математическом обеспечении моделирования численным методам решения систем различных уравнений.

Пример составления модели на макро уровне

В бак цилиндрической формы с площадью поперечного сечения F= 2 м², поступает вода с постоянной плотностью  = 1000 кг/м³. Вода из бака удаляется насосом, т.е. сток воды из бака постоянный. Составить модель объекта по каналу "расход на притоке – уровень". М_пр = 0.5 кг/с, М_ст = 0.4 кг/с,

Это модель интегрального звена так как передаточная функция гдеK=1/2000.

Если расход на стоке пропорционален уровню М_ст = ah, то модель будет такой:

, это ОДУ первого порядка (инерционное звено первого порядка).

Более подробно моделирование ТОУ будет рассматриваться в дисциплине "Идентификация и моделирование объектов управления", которая изучается в первом семестре 4 курса.

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

1. На какие уровни по иерархии подразделяются концептуальные ММ?

1. 2. В какой форме представляют математические модели на макро, микро и мета- уровне?

2. 3. Какие системы координат используются для записи закона сохранения? Чем они отличаются?

4. Какие составляющие входят в выражение законов сохранения субстанции?