3.6. Табличний симплекс-алгоритм

Нехай є заповнена симплекс-таблиця. Підбиваючи підсумки викладеному, одержимо наступний алгоритм вирішення ЗЛП симплекс-методом.

1. Якщо в нижньому рядку симплекс-таблиці всі числа, крім, мабуть, самого правого, недодатні, то опорний план, що відповідає симплекс-таблиці, оптимальний, і алгоритм зупиняється. У протилежному випадку - перехід до пункту 2.

2. Якщо симплекс-таблиця містить стовпець, відмінний від самого правого, у якого в нижньому рядку стоїть додатне число, а у всіх інших рядках - недодатні числа, то ЗЛП нерозв'язна через необмеженість знизу на ОПР цільової функції, і алгоритм зупиняється. У протилежному випадку - перехід до пункту 3.

3. Вибираємо будь-який стовпець, відмінний від самого правого, у якого в нижньому рядку стоїть додатне число - назвемо його генеральним. Потім розглядаємо рядки симплекс-таблиці, відмінні від самого нижнього, у яких у генеральному стовпці стоять додатні числа. Для кожного з таких рядків обчислюємо відношення вільного члена до елемента, що стоїть в генеральному стовпці. Рядок, для якого це відношення мінімальне, є генеральним рядком. Елемент, що стоїть на перетинанні генерального стовпця й генерального рядка, буде генеральним елементом. Перехід до пункту 4.

4. Заповнюємо нову симплекс-таблицю, у якій:

1) з базису виведено змінну, що стоїть в генеральному рядку; в базис уведено змінну, що стоїть у генеральному стовпці;

2) генеральний рядок ділимо на генеральний елемент;

3) за допомогою жорданової процедури всі числа генерального стовпця, за винятком тієї, що стоїть у генеральному рядку, робляться рівними нулю. Перехід до пункту 1.

Приклад I. Вирішити симплекс-методом

Задача записана в канонічному вигляді, потрібно привести її до табличного вигляду. Система рівнянь записана в жордановій формі з невід’ємними правими частинами (базисні змінні й). Необхідно привести до табличного вигляду цільову функцію. Для цього виразимо базисні змінні через вільні

x₃=10 - 2x₁ - x₂

x₄= 8 - x₁ - 2x₂

і підставимо в цільову функцію

Для одержання табличного вигляду функцію запишемо так:

Тепер маємо табличний вигляд ЗЛП:

Заповнимо першу симплекс-таблицю

Таблиця 3.7

Б					Q
	2	1	1	0	10
	1	2	0	1	8
F	10	6	0	0	28

У таблиці 3.7 умови оптимальності й нерозв'язності не виконуються. Виберемо за генеральний стовпець , у якого в нижньому рядку стоїть додатне число. Потім, порівнюючи відносини 10:3 і 8:1, виберемо перший рядок як генеральний. У таблиці генеральний елемент 2 .

Діючи відповідно до пункту 4 табличного симплекс-алгоритму, перейдемо до таблиці 3.8.

Таблиця 3.8

Б					Q
	1			0	5
	0			1	3
F	0	1	-5	0	-22

Умови оптимальності й нерозв'язності не виконуються. Вибираємо в таблиці 3.8 генеральний елемент і переходимо до наступної таблиці

Таблиця 3.9

Б					Q
	1	0			4
	0	1			2
F	0	0			-24

Таблиця 3.9 задовольняє умові оптимальності.

Відповідь: оптимальний план

Мінімальне значення цільової функції f_min = - 24.

Приклад 2. Вирішити симплекс-методом:

Насамперед, ЗЛП потрібно привести до канонічного вигляду

Тепер приводимо ЗЛП до табличного вигляду. Бачимо, що система рівнянь записана в жордановій формі з невід’ємними правими частинами (і z - базисні змінні). Однак у цільову функцію входить базисна змінна. Маємо:

Отже, табличний вигляд ЗЛП такий:

Заповнюємо симплекс-таблицю (таблиця 3.10).

Таблиця 3.10

Б				z	Q
	-1	1	1	0	1
z	1	-2	0	1	4
g	2	0	0	0	-1